Cónica

Histórico das seções cônicas

As seções cônicas como são definidas, são curvas geradas pela intersecção de um cone circular reto de duas

folhas com um plano. já existia exposições gerais sobre seções cônicas e existia uma diversidade de definições

para elas, cuja equivalência é mostrada na Geometria Elementar. Porém muitas das definições se perderam,

talvez porque logo foram superadas pelo trabalho mais extenso escrito por Apolônio. O tratados sobre as seções

cônicas são conhecidos antes da época de Euclides, (325 - 265 a.C.). E, associado à história dessas curvas,

temos Apolônio que nasceu na cidade de Perga, região da Panfília (atualmente Turquia) por volta de (262-

190 a.C). Apolônio estudou com os discípulos de Euclides em Alexandria e foi astrônomo notável. A maior parte

das obras de Apolônio desapareceu. O que sabemos dessas obras perdidas devemos a Pappus de Alexandria

(Séc. IV a.C.). A obra prima de Apolônio é Seções Cônicas, composta por 8 volumes (aproximadamente 400

proposições).

Numa superfície afunilada, existem três tipos de cortes que podem ser obtidos por esse processo e que resultam na:

Elipse, que é a cónica definida na interseção de um plano que atravessa a superfície de um cone;
Parábola, que é a cónica também definida na intersecção de um plano que penetra a superfície de um cone;
Hipérbole, que é a cónica definida na interseção de um plano que penetra num cone em paralelo ao seu eixo.

Elipse
Parábola
Hipérbole

Secção cônica

É um corte em cones completos por meio de um plano paralelo, não-paralelo ou perpendicular ou a um plano de referência. Estas seções geram as curvas cônicas nas interseções da superfície do cone com os planos cortantes.

Cônicas no plano

Uma cônica ^{(português europeu)} ou cónica ^{(português brasileiro)} em R² é um conjunto de pontos cujas coordenadas em relação à base canônica satisfazem a equação:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ , onde A ou B ou C $\neq$ 0

Note que a equação da cônica envolve uma forma quadrática, $Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}$ , uma forma linear, $L(x,y)=Dx+Ey$ e um termo constante $F$ . Assim a equação que define a cônica pode ser apresentada da seguinte maneira:

$Q(x,y)+L(x,y)+F=0$

Exemplos de cônicas

As equações das cônicas abaixo estão todas apresentadas na forma reduzida, isto é, $B=0$ $;$ Se $A\neq 0,D=0,$ e se $C\neq 0,E=0.$

Seção cônica	Coeficientes	Equação
Circunferência	$A=C=1$ $B=D=E=0$ $F=-r^{2}$	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$
Elipse	$A={1 \over a^{2}},C={1 \over b^{2}};a>0,b>0$ $B=D=E=0$ $F=-1$	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
Hipérbole	$A={1 \over a^{2}},C=-{1 \over b^{2}};a>0,b>0$ $B=D=E=0$ $F=-1$	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
Parábola	$D\neq 0$	$y^{2}-Dx=0$

Temos ainda os casos chamados degenerados:

Par de retas concorrentes (hipérbole degenerada)	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=0\,$
Par de retas paralelas (parábola degenerada)	$ax^{2}-b=0$ $a>0$ $b>0$
Uma reta (parábola degenerada)	$x^{2}=0$
Um ponto(elipse degenerada)	$a^{2}+by^{2}=0$ $a>0$ $b>0$
Vazio(elipse ou parábola degenerada)	$a^{2}+by^{2}+r^{2}=0$ $a>0$ $b>0$ $(r\neq 0)$	Não possui representação

Discriminante da equação do segundo grau

A equação $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ , pode ser identificada como uma elipse, uma hipérbole, ou uma parábola, conforme o valor do discriminante $B^{2}-4AC$ .