Hipérbole

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Hipérbole como seção cônica.

Em matemática, uma hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone, sem que este plano seja paralelo à linha oposta ao corte.[1]

Hipérbole pode indicar toda a seção do corte, ou também apenas uma das duas curvas que a formam. As duas curvas são iguais, e são denominadas hipérboles opostas.[1]

Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares[2] para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.

Para uma prova geométrica simples de que as duas caracterizações acima são equivalentes, veja esferas de Dandelin.

Algebricamente, uma hipérbole é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma

A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0

tal que B^2 > 4 AC, onde todos os coeficientes são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (x,y) na hipérbole, existe.

Definições[editar | editar código-fonte]

Os vértices da hipérbole são os dois pontos, um de cada hipérbole oposta, mais próximos entre si. A reta que liga estes dois pontos se chama o eixo transverso da hipérbole. O centro da hipérbole é o ponto médio do segmento de reta que une os dois vértices.[1]

A hipérbole também pode ser definida como o locus de pontos para os quais a razão das distâncias a um foco e a uma reta (chamada de diretriz) é uma constante maior ou igual a 1. Esta constante é considerada a excentricidade de hipérbole. Estes focos se encontram no eixo transversal e seu ponto médio é chamado de centro.

Uma hipérbole compreende duas curvas desconectadas, chamadas de "braços", que separam os focos. Conforme a distância dos pontos da hipérbole aos focos aumenta, a hipérbole começa a se aproximar de duas linhas, conhecidas como assíntotas.

Uma hipérbole possui a propriedade de que um raio, originando-se em um de seus focos, é refletido de tal forma que ele aparenta ter sido originado no outro foco.

Uma hipérbole ambigenal é uma das hipérboles triplas de segunda ordem, possuindo uma de suas quatro curvas infinitas aproximando-se com um ângulo com relação às assíntotas, e com a curva oposta se aproximando sem este ângulo.[3]

Hipérboles retangulares de unidade conjugadas

Um caso especial da hipérbole é a equilateral ou hipérbole retangular, na qual as assíntotas se intersectam em ângulos retos. A hipérbole retangular, com suas assíntotas coincidentes com os eixos coordenados, é dada pela equação xy=c, onde c é uma constante.

Assim como as funções seno e co-seno geram uma equação paramétrica para a elipse, as funções seno hiperbólico e co-seno hiperbólico também geram uma equação paramétrica para a hipérbole.

Se na equação da hipérbole invertermos as variáveis x e y, obteremos a hipérbole conjugada. Uma hipérbole e sua hipérbole conjugada possuem as mesmas assíntotas.

Equações[editar | editar código-fonte]

Cartesiana[editar | editar código-fonte]

Hipérbole de abertura leste-oeste:

\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1

Hipérbole de abertura norte-sul:

\frac{\left( y-k \right)^2}{a^2} - \frac{\left( x-h \right)^2}{b^2} = 1

Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo maior (metade da distância entre os dois ramos), e b é o semi-eixo menor. Note que b pode ser maior que a.

A excentricidade é dada por

e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} ou e = \frac{c}{a}

Para hipérboles retângulares com os eixo de coordenadas paralelos às suas assíntotas temos:

(x-h)(y-k) = c

Polar[editar | editar código-fonte]

Hipérbole com abertura leste-oeste:

r^2 =a\sec 2t

Hipérbole com abertura norte-sul:

r^2 =-a\sec 2t

Hipérbole com abertura nordeste-sudoeste:

r^2 =a\csc 2t

Em todas as fórmulas o centro está no pólo, e a é o semi-eixo maior e menor.

Paramétrica[editar | editar código-fonte]

Hipérbole com abertura leste-oeste:

x = a\sec \theta + h
y = b\tan \theta + k

Hipérbole com abertura norte-sul:

x = a\tan \theta + h
y = b\sec \theta + k

Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo maior, e b é o semi-eixo menor.

Referências

  1. a b c Charles Hutton, A Philosophical and Mathematical Dictionary Containing... Memoirs of the Lives and Writings of the Most Eminent Authors, Volume 1 (1815), Hyperbola, p.667 [google books]
  2. Carvalho, Benjamin - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1988.
  3. 1828 Webster's Dictionary, domínio público.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
  • Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
  • Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
  • Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
  • Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
  • Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]