Técnicas para diferenciação

Este artigo contém uma lista de técnicas para a diferenciação de funções reais, categorizadas por tipo.

Funções polinomiais simples

Dado um polinômio $p(x)$, que é definido pela fórmula:

$p(x)=\sum _{i=0}^{m}k_{i}x^{i}$, tem-se

${\frac {d}{dx}}p(x)=\sum _{i=1}^{m}ik_{i}x^{i-1}.$

Que é, simples multiplicação de cada termo por seu grau, então dividir-se por ’’$x$’’. Por exemplo, pode-se diferenciar $\scriptstyle {\sqrt {x}}+5x$. Primeiramente, divide-se em seus termos componentes: $\scriptstyle {\sqrt {x}}$ e $5x$. $\scriptstyle {\sqrt {x}}$ é igual a $x^{1/2}$, significando que sua derivada é $\scriptstyle 1/2{\sqrt {x}}$, ou metade do recíproco do valor. $5x$ simplesmente torna-se 5, dando-nos:

${\frac {d}{dx}}({\sqrt {x}}+5x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}+5={\frac {1+10{\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}}.$

Funções exponenciais

Dada uma função “f(x)” igual a b^x, sua derivada pode ser encontrada pela seguinte fórmula:

${\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}\ln b$

onde “ln b” é o logaritmo natural de b. Usando-se esta fórmula, nós podemos diferenciar 225^x por multiplicar por ln 225 = ln 15² = 2 ln 15 = 2(ln 3 + ln 5). (Ver Logaritmo natural). Assim, finalmente, temos 225^x 2 ln 3 + 225^x 2 ln 5.

Demonstração

${\frac {d}{dx}}b^{x}$

$={\frac {d}{dx}}e^{\ln b^{x}}$ Uma propriedade dos logaritmos.

$={\frac {d}{dx}}e^{x\ln b}$ Outra propriedade dos logaritmos

$=\left({\frac {d}{dx}}x\ln b\right)\left(e^{x\ln b}\right)$ Da regra da cadeia.

$=\left(\ln b\right)\left(e^{\ln b^{x}}\right)$

$=b^{x}\ln b$

Funções logarítmicas

Todas as funções logarítmicas podem ser diferenciadas via uma fórmula muito similar aquela para funções exponenciais. A inclinação de qualquer função logarítmica em um ponto x é igual ao inverso de x vezes o logaritmo natural da base, ou:

${\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.$

Através disto podemos diferenciar o próprio logaritmo natural. Naturalmente, a base do logaritmo natural é e, e o logaritmo de base x de x é sempre um. Portanto, o logaritmo natural de e é um. Sabendo disso, podemos achar que o declive do logaritmo natural em qualquer ponto é igual ao inverso da altura naquele ponto.

Demonstração

Tendo-se

$y=\log _{b}x$.

Então

$b^{y}=x$.

$e^{\ln b^{y}}=x$

$e^{y\ln b}=x$

Usando-se diferenciação implícita.

$\left(e^{y\ln b}\right)\left({\frac {d}{dx}}y\ln b\right)=1$

$\left(e^{\ln b^{y}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)\left(\ln b\right)=1$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{(b^{y})(\ln b)}}$

Desde que $y=\log _{b}x$ e $b^{y}=x$, ${\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}$.

Funções trigonométricas simples

${\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x$

${\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x$

${\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x$

${\frac {d}{dx}}\sec x=\tan x\sec x$

${\frac {d}{dx}}\csc x=-\cot x\csc x$

${\frac {d}{dx}}\cot x=-\csc ^{2}x$

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Para uma extensa lista de derivadas de funções trigonométricas, funções hiperbólicas, suas inversas, e demonstrações, ver tabela de derivadas e diferenciação de funções trigonométricas.

Ver também

• Cálculo
• Derivada