Funções implícitas e explícitas

Em matemática, usam-se os termos função implícita e função explícita para designar funções definidas por expressões matemáticas sendo que:

• nas funções explícitas a fórmula é dada como f(x) = φ(x), em que φ é uma expressão em x, ou seja, utiliza apenas constantes, funções anteriormente definidas e a variável x .
• nas funções implícitas a fórmula é dada como Φ(f, x) = 0, em que Φ é uma expressão em f e x, ou seja, utiliza apenas constantes, funções anteriormente definidas e as variáveis f e x. Esta fórmula é interpretada como f = f(x) .

Em uma função explícita é fornecida uma prescrição para a determinação do valor de saída da função y em termos do valor de entrada x:

y = f(x).

Em contraste, a função é implícita se o valor de y é obtido de x por resolver-se uma equação da forma:

R(x,y) = 0.

Ou seja, ela é definida como o conjunto de nível de uma função em duas variáveis: uma variável ou o outro pode determinar a outra, mas não é dada uma fórmula explícita para um em termos do outro.

Funções implícitas podem frequentemente ser úteis em situações onde seja conveniente resolver explicitamente uma equação da forma R(x,y) = 0 para y em termos de x. Mesmo que seja possível reorganizar a equação para obter y como uma função explícita f(x), pode não ser desejável fazê-lo desde a expressão de f que pode ser muito mais complicado que a expressão de R. Em outras situações, a equação R(x,y) = 0 pode falhar em definir uma função em todos, e sim definir um tipo de função multivalorada. No entanto, em muitas situações, ainda é possível trabalhar com funções implícitas. Algumas técnicas de cálculo, tais como difereniação, pode ser realizada com relativa facilidade usando diferenciação implícita.

O teorema da função implícita fornece uma ligação entre funções implícitas e explícitas. Ele estabelece que se a equação R(x, y) = 0 satisfaz algumas condições brandas sobre suas derivadas parciais, então pode-se, em princípio, resolver esta equação para y, pelo menos durante alguns pequenos intervalo. Geometricamente, o gráfico definida por R(x,y) = 0 irá sobrepor-se localmente com o gráfico de uma função y = f(x).

Existem vários métodos numéricos para resolver-se a equação R(x,y)=0 para encontrar uma aproximação para a função implícita y. Muitos destes métodos são iterativos em que eles produzem-se melhores aproximações sucessivas, de modo que uma precisão requerida pode ser alcançada. Muitos destes métodos iterativos são baseados em alguma forma do método de Newton.

Exemplos

Funções inversas

Funções implícitas normalmente surgem como um meio de descrever a noção de uma função inversa. Se f é uma função, então a função inversa de f é uma solução da equação

$x=f(y) \implies y = f^{-1}(x)$

para y em termos de x. Intuitivamente, uma função inversa é obtida de f por intercambiar-se os papeis das variáveis dependente e independente. Dito de outra forma, a função inversa é a solução y da equação

$R(x,y) = x-f(y) = 0.$

Exemplos.

1. O logaritmo natural y = ln(x) é a solução da equação x − e^y = 0.
2. O log-produto é uma função implícita dada por x − y e^y = 0.

Funções algébricas

Ver artigo principal: Função algébrica

Uma função algébrica é uma solução y para uma equação R(x,y) = 0 onde R é um polinômio de duas variáveis. Funções algébricas desempenham um importante papel em análise matemática e geometria algébrica. Um exemplo simples de uma função algébrica é dada pelo círculo unitário:

$\ x^2+y^2-1=0$

Resolvendo para y tem-se

$\ y=\pm\sqrt{1-x^2}$

Note-se que há dois "ramos" para a função implícita: um onde o sinal é positivo e o outro onde ela é negativa. Ambos os ramos são considerados como pertencentes à função implícita. Deste modo, funções implícitas podem ser de múltiplos valores.