Elipsoide: diferenças entre revisões
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{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1 |
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*c = 0 : o elipsoide é '''plano''' (duas elipses em simetria) |
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*b = c : esferoide em forma de charuto |
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*a = b : esferoide em forma de comprimido |
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*a = b = c : esfera |
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Os esferoides resultam da rotação de uma [[elipse]] em torno de um dos seus eixos. |
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Revisão das 11h37min de 12 de janeiro de 2015
Em matemática, um elipsoide (pré-AO 1990: elipsóide) é uma superfície cuja equação num sistema de coordenadas cartesianas x-y-z é
onde a, b e c são números reais positivos que determinam as dimensões e forma do elipsoide. Se dois dos números são iguais, o elipsoide é um esferoide; se os três forem iguais, trata-se de uma esfera.
Supondo a ≥ b ≥ c, então:
- a ≠ b ≠ c : o elipsoide é escaleno
- c = 0 : o elipsoide é plano (duas elipses em simetria)
- b = c : esferoide em forma de charuto
- a = b : esferoide em forma de comprimido
- a = b = c : esfera
Os esferoides resultam da rotação de uma elipse em torno de um dos seus eixos.
Volume
O volume de um elipsoide é dado por[1]:
Área da superfície
A área da superfície tem uma fórmula mais complexa, dada por:
em que
e e são os integrais elípticos incompletos do segundo e terceiro tipos.
Fórmulas aproximadas:
- Elipsoide plano:
- Se :
- Se :
- Se o elipsoide é escaleno:
onde p ≈ 1.6075 resulta num erro relativo máximo de cerca de 1.061% (fórmula de Knud Thomsen); um valor de p = 8/5 = 1.6 resulta bem para praticamente todos os elipsoides esferoides, com erro relativo máximo de 1.178% (fórmula de David W. Cantrell).
Transformações lineares
Ao aplicar uma transformação linear invertível a uma esfera, obtém-se um elipsoide
A intersecção de um elipsoide com um plano é um conjunto vazio, um ponto ou uma elipse.
Aplicação em cartografia
Nas ciências cartográficas, os elipsoides são utilizados como aproximação da forma irregular da Terra, já que representam o achatamento nos pólos, ao contrário das esferas. As projecções cartográficas têm como domínio coordenadas elipsoidais.
Ver também
Ligações externas
Referências
- ↑ F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, and C. W. Clark, (editores), 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions (Cambridge University Press)