Fatoração

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Fatoração ^{(português brasileiro)} ou Fatorização ^{(português europeu)} (AO 1945: Factorização) é o termo usado na álgebra para designar a decomposição que se faz de cada um dos elementos que integram um produto, ou seja, o resultado de uma multiplicação. Assim como parcela é cada uma das partes que integram uma adição, o fator é como se chama cada elemento que integra o produto. Com a fatoração busca-se a simplificação das fórmulas matemáticas em que ocorre a multiplicação, especialmente das chamadas equações.

Há centenas de aplicações e problemas relacionados, tais quais os de fatoração de números primos e criptografia.

De forma mais genérica, a fatoração é o ato de se representar um elemento de um monoide sobre o qual está definida uma operação multiplicativa como um produto de elementos do grupo. Um caso particular importante é a fatoração de um polinômio, que consiste em transformá-lo em um produto de polinômios de graus menores, ou mais simples, em linguagem não-matemática.

Essa fatoração é indispensável na resolução de equações do segundo grau ou maior.

Principais tipos de fatoração [editar]

Fator comum em evidência: $ax+bx+cx= x.(a+b+c)$
Agrupamento: $ax+ay+bx+by = (ax+ay)+(bx+by) = a.(x+y) + b.(x+y) = (a+b).(x+y)$
Trinômio quadrado perfeito: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$
Diferença de dois quadrados: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
Trinômio do 2º Grau: $x^2+(a+b).x+(a.b) = (x+a).(x+b)$
Soma de dois quadrados (não é fatorável nos números reais, mas pode ser fatorada nos números complexos): $a^2+b^2=(a+i.b)(a-i.b)$
Soma de dois cubos: $a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - a b + b^2)$
Diferença de dois cubos: $a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + a b + b^2)$
Diferença de potências:
$a^n - b^n = (a - b) \left(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2+\ldots + ab^{n-2} + b^{n-1}\right)$
$a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{(n-1)-k}$
Soma de potências (n ímpar): $a^n + b^n = (a + b) \left(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \ldots - ab^{n-2} + b^{n-1}\right)$
Diferença entre uma potência de 2 e 1: $2^n - 1 = 2^n-1^n = (2-1)\times\left ( \sum_{k=0}^{n-1} 2^k\times1^{(n-1)-k} \right )=\sum_{k=0}^{n-1} 2^k$
Diferença entre uma potência de um natural e 1: $a^n - 1 = a^n-1^n=(a-1) \sum_{k=0}^{n-1} a^k\times1^{(n-1)-k} = (a-1) \sum_{k=0}^{n-1} a^k$