Filtro Butterworth

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A resposta em frequência de um filtro Butterworth passa-baixas de primeira ordem

O filtro Butterworth é um tipo de projeto de filtros eletrônicos. Ele é desenvolvido de modo a ter uma resposta em frequência o mais plana o quanto for matematicamente possível na banda passante.

Os filtros Butterworth foram descritos primeiramente pelo engenheiro britânico S. Butterworth (cujo primeiro nome acredita-se ser Stephen) em sua publicação "On the Theory of Filter Amplifiers", Wireless Engineer (também chamada de Experimental Wireless and the Radio Engineer), vol. 7, 1930, pp. 536-541.

Visão Geral[editar | editar código-fonte]

Filtros passa-baixas Butterworth de ordens 1 a 5

A resposta em frequência de um filtro Butterworth é muito plana (não possui ripple, ou ondulações) na banda passante, e se aproxima do zero na banda rejeitada. Quando visto em um gráfico logarítmico, esta resposta desce linearmente até o infinito negativo. Para um filtro de primeira ordem, a resposta varia em −6 dB por oitava (−20 dB por década). (Todos os filtros de primeira ordem, independentemente de seus nomes, são idênticos e possuem a mesma resposta em frequência.) Para um filtro Butterworth de segunda ordem, a resposta em frequência varia em −12 dB por oitava, em um filtro de terceira ordem a variação é de −18 dB, e assim por diante. Os filtros Butterworth possuem uma queda na sua magnitude como uma função linear com ω.

Exemplo de um filtro passa-baixas Butterworth de segunda ordem

O Butterworth é o único filtro que mantém o mesmo formato para ordens mais elevadas (porém com uma inclinação mais íngreme na banda atenuada) enquanto outras variedades de filtros (Bessel, Chebyshev, elíptico) possuem formatos diferentes para ordens mais elevadas.

Comparado com um filtro Chebyshev do Tipo I/Tipo II ou com um filtro elíptico, o filtro Butterworth possui uma queda relativamente mais lenta, e portanto irá requerer uma ordem maior para implementar um especificação de banda rejeitada particular. Entretanto, o filtro Butterworth apresentará uma resposta em fase mais linear na banda passante do que os filtros Chebyshev do Tipo I/Tipo II ou elípticos.

Função de transferência[editar | editar código-fonte]

Como em todos os gêneros de filtros, o modelo típico é o filtro passa-baixas, que pode ser modificado para se tornar um filtro passa-altas, ou colocado em série com outros filtros para formar filtros passa-faixa ou rejeita-faixa, e versões de ordem mais elevadas destes.

A magnitude da resposta em frequência de um filtro passa-baixas de ordem n pode ser definida matematicamente como:

 G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{ 1 + (\omega / \omega_\mathrm{c}) ^ {2 n}} }

onde:


Normalizando a expressão (fazendo a frequência de corte \omega_\mathrm{c} = 1), tem-se:

 G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{ 1 + \omega ^ {2 n}} }

Roll Off de altas frequências[editar | editar código-fonte]

{{\left | H(j \omega) \right |^2}_{dB}} = {20n}{log_{10}{\omega}}

Desse modo, o roll off para altas frequências = 20n dB/década

Implementação do filtro[editar | editar código-fonte]

Butterworth Cauer 1 form.PNG

Dada uma função de transferência, o filtro Butterworth pode ser implementado utilizando a forma Cauer - 1: O elemento k é dado por: C_k = 2 sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ] L_k = 2 sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]

Polinomiais Butterworth normalizados[editar | editar código-fonte]

n Fatores de polinomiais B_n(s)
1 (s+1)
2 s^2+1.414s+1
3 (s+1)(s^2+s+1)
4 (s^2+0.7654s+1)(s^2+1.8478s+1)
5 (s+1)(s^2+0.6180s+1)(s^2+1.6180s+1)
6 (s^2+0.5176s+1)(s^2+1.414s+1)(s^2+1.9318s+1)
7 (s+1)(s^2+0.4450s+1)(s^2+1.247s+1)(s^2+1.8022s+1)
8 (s^2+0.3986s+1)(s^2+1.111s+1)(s^2+1.6630s+1)(s^2+1.9622s+1)

Grafico de magnitude para um exemplo de filtro Butterworth passa-baixas de segunda ordem

Comparação com outros filtros lineares[editar | editar código-fonte]

As imagens abaixo mostram a resposta em frequência do filtro Butterworth junto com outros tipos de filtros comuns obtidos com o mesmo número de coeficientes:

Electronic linear filters.svg

Pode-se constatar nessas imagens que o filtro Butterworth é mais plano que os outros e não mostra ondulações (ripple).

Ver também[editar | editar código-fonte]

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