Função de classe

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Em matemática, especialmente nas áreas de teoria dos grupos e teoria de representação de grupos, uma função de classe é uma função f definida em um grupo grupo G, tal que f é constante nas classes de conjugação de G. Em outras palavras, f é invariante sob a aplicação de conjugação em G. Tais funções desempenham um papel fundamental na teoria de representação.

O caractere de uma representação linear de G sobre um corpo K é sempre uma função de classe com valores em K. As funções de classe formam o centro do anel de grupo K[G]. Aqui uma função de classe f é identificado com o elemento  \sum_{g \in G} f(g) g.

Produtos internos[editar | editar código-fonte]

O conjunto de funções de classe de um grupo G com valores em um corpo K forma um K-espaço vetorial. Se G é finito e a característica do corpo não divide a ordem de G, então existe um produto interno neste espaço definido por \langle \phi , \psi \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \phi(g) \psi(g^{-1}) em que |G| denota a ordem de G. O conjunto de caracteres irredutíveis de G forma uma base ortogonal, e se K é um corpo de decomposição para G, por exemplo se K é algebricamente fechado, então os caracteres irredutíveis formam uma base ortonormal.

No caso de um grupo compacto e K = C o compor dos números complexos, a noção de medida de Haar permite que a soma finita acima seja substituída por uma integral:  \langle \phi, \psi \rangle = \int_G \phi(t) \psi(t^{-1})\, dt.

Quando K é o corpo dos números reais ou dos complexos, o produto interno é uma forma bilinear hermitiana não degenerada.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Serre, Jean-Pierre. Linear representations of finite groups (em inglês). Berlin: Springer-Verlag, 1977.