Teoria das distribuições

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O termo distribuição é uma generalização do termo função. A teoria foi desenvolvida na metade do século 20 por Laurent Schwartz, que por sua genialidade recebeu a Medalha Fields.

Motivação[editar | editar código-fonte]

A teoria das distribuições foi desenvolvida a fim de manipular determinadas singularidades que surgem na física matemática. Por exemplo, a distribuição delta de Dirac é adequada para descrever conceitos da física teórica, como uma massa puntual ou uma carga elétrica. De uma função densidade tridimensional de uma massa concentrada unitária é necessário que a mesma seja nula em todos os pontos, com exceção de um único ponto, no qual a função é infinita, tal que a integral volumétrica da função densidade seja unitária. Não existe função ordinária que satisfaça esta propriedade da função densidade. No entanto, sendo a integral interpretada como um funcional, é possível descrever a densidade como uma distribuição delta de Dirac.

Atualmente distribuições são indispensáveis em diversos ramos da matemática, física e eletrotécnica, por exemplo na teoria das equações diferenciais parciais, bem como em análise de Fourier.

Definições[editar | editar código-fonte]

Definição de distribuições[editar | editar código-fonte]

Uma distribuição é uma transformação linear contínua de uma função teste nos números complexos. Isto significa que uma distribuição é uma transformação que associa a toda função teste um número. O conjunto das distribuições com suas correspondentes relações é portanto o espaço dual topológico do espaço das funções teste.

Notação[editar | editar código-fonte]

De acordo com a definição, uma distribuição associa a toda função teste um número

 T: \phi \to T(\phi) := (T,\phi)

Na última equação (T,\phi) é uma notação para o valor que a distribuição associa à função teste  \phi . Diz-se: a distribuição T é aplicada sobre φ.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Seja \Omega \subseteq \R e  f \in C(\Omega), tal que para toda função teste \phi \in C_c^\infty(\Omega) a expressão \int_{-\infty}^\infty f(x) \phi(x) d x seja uma distribuição no espaço \mathcal{D}'(\Omega).
  • Seja x_0 \in \Omega \subseteq \R^n e \alpha \in \N^n. Então para todo \phi \in C_c^\infty(\Omega) a derivada parcial (\partial_x^\alpha \phi)(x_0) é também um distribuição em \mathcal{D}'(\Omega).
  • o valor principal de Cauchy da função \frac{1}{x} pode ser interpretado como a distribuição T
\forall \phi \in C_c^\infty: \ T(\phi) := PV-\int_{-\infty}^\infty \frac{\phi(x)}{x} d x.

Funções teste[editar | editar código-fonte]

Dentre os diversos espaços de funções teste serão descritos aqui três deles.

Seja

 C_c^{\infty}(\Omega) = \{ \phi \in C^{\infty}(\Omega,\mathbb{C}) \,|\, \operatorname{supp}\,\phi \mathrm{~um~subconjunto~compacto~de~} \Omega \}

o conjunto das funções infinitamente diferenciáveis com suporte compacto, ou seja, que fora de um domínio compacto são nulas.

Funções teste para distribuições gerais[editar | editar código-fonte]

Para o primeiro espaço de funções teste, denotado por  {\mathcal D}(\Omega) , é necessário um critério de convergência. Uma seqüência  (\phi_j)_{j\in \mathbb{N}} com \phi_j \in C_c^\infty(\Omega) converge ao valor \phi, quando existe um conjunto compacto K \subset \Omega com \operatorname{supp}(\phi_j) \subset K para todo j e

 
\lim_{j \rightarrow \infty} \sup_{x\in K} 
\left|
\frac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha} 
\left( \phi_j (x) - \phi(x) \right)
\right| = 0

para todo multi-índice \alpha \in \N^n. O espaço C_c^\infty(\Omega) juntamente com este critério de convergência fornece um espaço convexo local, denotado por  {\mathcal D}(\Omega) .

Funções teste para distribuições com suporte compacto[editar | editar código-fonte]

Um outro espaço de funções teste é o espaço das funções suaves C^\infty(\Omega). Este espaço, juntamente com a seguinte família de semi-normas e a topologia induzida é denotado por \mathcal{E}(\Omega). A família de semi-normas é expressa por

 \phi \mapsto \sum_{|\alpha|\leq m} \sup_{x\in K} \left| \frac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha} \phi(x) \right|.

Esta norma induz uma topologia convexa local

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Israel Gelfand: Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen). Bände I - III (1958 mit G.E. Schilow), IV (1960 mit N.J. Wilenkin), V (1962 mit M.I. Graev und N.J. Wilenkin), VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (Ost).
  • Michael James Lighthill: An introduction to Fourier analysis and generalised functions, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4.
  • Joseph Wloka: Grundräume und Verallgemeinerte Funktionen, Lecture Notes in Mathematics 82, Springer-Verlag 1968, ISBN 3-540-04250-4.