Função zeta de Hurwitz

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Em matemática, a função zeta de Hurwitz é uma das muitas funções zeta. É definida formalmente para um argumento complexo s e um argumento real q como

\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s}.

Esta série é convergente para q > 0 e Re(s) > 1. Se q é um inteiro não positivo se supõe que os termos na série com denominador nulo não são considerados. Entretanto, em geral um se limita a 0 < q ≤ 1, o qual simplifica muitas das fórmulas aplicáveis à esta função.

Notar que na realidade não há coisa algumna que evite que a variável q seja complexa (em cujo caso, Re(q)>0 é uma restrição natural, ainda que não seja uma condição necessária). Esta extensão é necessária para a fórmula de Schwinger para o rítmo de produção de pares de elétrons (vide infra).

Extensão analítica[editar | editar código-fonte]

A função zeta de Hurwitz pode ter uma extensão analítica a uma função meromorfa definida para todos os números complexos s com s ≠ 1. Em s = 1 possuem um polo simples com resíduo 1. O termo constante é dado por

\lim_{s\to 1} \left[ \zeta (s,q) - \frac{1}{s-1}\right] = 
\frac{-\Gamma'(q)}{\Gamma(q)} = -\psi(q)

onde Γ é a função Gama e ψ é a função digama.

Representação da série[editar | editar código-fonte]

Em 1930 Helmut Hasse encontrou a representação em forma de série convergente definida por q > −1 e para todo número complexo s ≠ 1:[1]

\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} 
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}
\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{1-s}.

Esta série converge uniformemente em um subconjunto compacto do plano s a uma função inteira. A soma interna deve ser compreendida como a n-ésima diferença finita de q^{1-s}; ou seja,

\Delta^n q^{1-s} = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \choose k} (q+k)^{1-s}

onde Δ é o operador diferença finita. Portanto, é válido que

\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} 
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} \Delta^n q^{1-s}
= \frac{1}{s-1} {\log(1 + \Delta) \over \Delta} q^{1-s}.

Representaçao integral[editar | editar código-fonte]

A função possui uma representação integral em função da transformada de Mellin. Esta é:

\zeta(s,q)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty 
\frac{t^{s-1}}{e^{qt}\left(1-e^{-t}\right)}dt

para \Re s>1 e \Re q >0.

Fórmula de Hurwitz[editar | editar código-fonte]

A fórmula de Hurwitz estabelece o seguinte teorema:

\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right]

com

\beta(x;s)=
2\Gamma(s+1)\sum_{n=1}^\infty \frac {\exp(2\pi inx) } {(2\pi n)^s}=
\frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s} \mbox{Li}_s (e^{2\pi ix})

é uma representação do zeta que é válido para 0\le x\le 1 e s>1. Onde, \mbox{Li}_s (z) é o polilogaritmo.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458-464.