Raiz quadrada de dois

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A hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 tem comprimento raiz quadrada de dois.

A raiz quadrada de dois, denotada \sqrt{2}, é o único número real positivo cujo quadrado (ou seja, o resultado de sua multiplicação por si próprio) é dois:

\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2.

A raiz quadrada de dois é um número irracional,[1] [Nota 1] ou seja, não é possível encontrar dois números inteiros a e b tais que \frac{a}{b}=\sqrt{2}.

Acredita-se que \sqrt{2} tenha sido o primeiro número irracional reconhecido como tal. Esta importante descoberta é atribuída a Hipaso de Metaponto, da escola de Pitágoras. De acordo com uma lenda, a demonstração teria custado a vida de seu descobridor, uma vez que contrariava as ideias predominantes entre os pitagóricos de que tudo era número (inteiro).[2]

Um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 tem hipotenusa com comprimento \sqrt{2}.

Notação[editar | editar código-fonte]

A raiz quadrada de dois pode ser escrita como:

  • \sqrt{2}, lê-se "raiz quadrada de dois" ou "raiz de dois".
  • 2^{\frac{1}{2}} ou 2^{1/2}, lê-se "dois elevado a um meio" ou "dois a um meio".

Aproximação decimal da raiz quadrada de 2[editar | editar código-fonte]

Por ser um número irracional, \sqrt{2} não pode ser expressa como um número finito de casas decimais, uma aproximação com 65 dígitos decimais é:

1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799... (sequência A002193 na OEIS).

Uma aproximação fraccionária para a raiz quadrada de 2 é 10/7 que, ao quadrado, fica 100/49, bem próximo de 2.

Sequência aproximante de raiz quadrada de 2[editar | editar código-fonte]

Pode-se facilmente construir uma seqüência de números racionais se aproximando (convergindo) para \sqrt{2}:

\left\{
\begin{array}{l}
x_0=1\\
x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}
\end{array}\right.

Esta recursão produz a seqüência:

1; ~~\frac{3}{2};~~ \frac{17}{12}; ~~\frac{577}{408};~~ \frac{665857}{470832};~~ \frac{886731088897}{627013566048}

Ou, aproximadamente:

1;~~ 1,5;~~ 1.416666667;~~ 1.414215686;~~ 1.414213562;~~ 1.414213562

Observe que o método estabiliza a nona casa decimal após apenas cinco passos.

Inexistência de um número racional cujo quadrado seja 2[editar | editar código-fonte]

O matemático britânico Godfrey Harold Hardy em seu livro Em defesa de um matemático afirma que a demonstração da irracionalidade da raiz quadrada de dois é um dos teoremas de "primeira classe". E que "conserva a beleza e o frescor que tinha ao ser descoberto" há mais de dois mil anos.

A demonstração é simples e recorre ao método da prova por contradição. Ou seja, supomos que exista um número racional igual a raíz de 2, ou seja, que existem números inteiros positivos a e b tais que:

\frac{a}{b}=\sqrt{2}

ou, equivalentemente:

\left(\frac{a}{b}\right)^2=2

Podemos supor que a e b não são ambos números pares, pois se fossem, poderíamos simplificar a fração até obter um dos termos da fração impar.

Agora, escrevemos:

\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}=2

Então:

a^2=2b^2

Concluímos então que a^2 deve ser um número par, pois é dobro de b^2. a deve ser par também, pois o quadrado de um número ímpar é ímpar.

Temos então que a é um número par e, portanto, é o dobro de algum número inteiro, digamos c:

a=2c
(2c)^2=2b^2
4c^2=2b^2
2c^2=b^2

Pelos motivos alegados anteriormente, b deve ser um número par.

Concluímos, finalmente, que se raiz quadrada de dois fosse um número racional, então este número seria uma fração que não tem forma irredutível. Isto é um absurdo e, portanto, não existe um racional cujo quadrado seja igual a 2, como queríamos demonstrar.

Notas e referências

Notas

  1. No texto, Vitrúvio escreve que a determinação de um número que corresponde à diagonal de um quadrado com lado igual a dez pés não pode ser feita por números, o que, segundo interpretação de Bill Thayer, editor do site LacusCurtius, significa que não pode ser feita por uma fração com números inteiros.

Referências

  1. Vitrúvio, De Architetura, Livro IX, Introdução, 4 [em linha]
  2. Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]