Sistema esférico de coordenadas

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O Sistema esférico de coordenadas é um sistema de referenciamento que permite a localização de um ponto qualquer em um espaço de formato esférico através de um conjunto de três valores, chamados de coordenadas esféricas.[1]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

As coordenadas esféricas (r,Θ,Φ) são definidas por (convenção não norte-americana):

{x}=r \, \sin\phi  \, \cos\theta \quad
{y}=r \, \sin\phi \, \sin\theta \quad
{z}=r \, \cos\phi\quad

r \in [0,\infty), \theta \in [0,2\pi], \phi \in [0,\pi]

As coordenadas são compostas pela tripla ordenada (r,\theta,\varphi) \,\!

Spherical-coordinates.png O sistema representa a coordenada através do raio esférico da membrana que virtualmente conteria o ponto no espaço e de dois ângulos, suficientes para identificar a posição do mesmo em relação aos eixos principais.[2]

O espaço pode ser visto como um conjunto de esferas concêntricas, onde o raio serve como delimitador máximo da superfície de cada esfera e os ângulos determinam a localização exata dos pontos sobre a superfície.

A regra de transformação de coordenadas esféricas em retangulares pode ser descrita desta forma:

  • x= r\ \mbox{sen}(\varphi)\cos(\theta)
  • y=r\ \mbox{sen}(\varphi)\ \mbox{sen}(\theta)
  • z=r\ \cos(\varphi)

Para encontrar as coordenadas esféricas a partir das suas correspondentes retangulares usamos as seguintes fórmulas:

  • r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \,\!
  • \theta = \mbox{arctg} \left(\frac{y}{x} \right)
  • \varphi=\mbox{arctg} \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)

Convenções utilizadas[editar | editar código-fonte]

Sistema de coordenadas esférico pela convenção norte-americana

Convenção norteamericana[editar | editar código-fonte]

Falando em termos de coordenadas cartesianas, a convenção usada pelos matemáticos dos Estados Unidos é:

  • P (Raio): é a distância entre o ponto P e a origem.
  • φ (colatitude o ângulo polar ) de 0º a 180º é o ângulo entre o eixo Z e a linha que une a origem e ponto P, e
  • θ (azimute ou longitude) de 0º a 360º é o ângulo entre o eixo X positivo e a linha que une a origem com a projeção do ponto P no plano XY.

Convenção não norteamericana[editar | editar código-fonte]

A maioria dos físicos, engenheiros e matemáticos não norteamericanos intercalam os símbolos θ e φ, sendo:

  • θ a colatitude.
  • φ o azimute.

Esta é a convenção que se segue neste artigo (quando nos referirmos às coordenadas esféricas). No sistema internacional, os grau de variação das três coordenadas são:

 0 \leq r <\infty\qquad 0\leq \theta\leq 2\pi\qquad 0\leq \varphi< \pi

A coordenada radial é sempre positiva.

Aplicação ao cálculo integral[editar | editar código-fonte]

No cálculo integral, podemos usar o sistema de coordenadas esféricas para fazer uma mudança de variáveis, alterando do sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z) para (r,\phi, \theta). Neste caso há que inserir no integral o Jacobiano (determinante da matriz Jacobiana) da transformação, que neste caso dá r^2 \sin \phi.

Então:

\iiint_V f(x,y,z) dxdydz = \iiint_V f(r \, \sin\phi  \, \cos\theta,r \, \sin\phi \, \sin\theta,r \, \cos\phi) \ r^2 \sin \phi \ dr d\phi d\theta

A ordem de integração dr d\phi d\theta pode ser alterada conforme for mais conveniente.

Caso se queira achar apenas o volume f(x,y,z)=1 então o integral fica apenas:

V=\iiint_V \ r^2 \sin \phi \ dr d\phi d\theta

Exemplo: Volume da esfera[editar | editar código-fonte]

Neste sistema de coordenadas torna-se fácil por exemplo calcular o volume de uma esfera de raio R. Podemos constatar que o ângulo \theta \in [0,2\pi], e que \phi \in [0,\pi]. Já o raio r é varrido no intervalo [0,R].

V=\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}r^2 sen(\phi) d\phi d\theta dr=\int_{0}^{R}r^2 \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}sen(\phi) d\phi d\theta dr=
=\int_{0}^{R}r^2 \int_{0}^{2\pi}(-cos(\pi)+cos(0)) d\theta dr=2\int_{0}^{R}r^2 \int_{0}^{2\pi}1 d\theta dr=2\int_{0}^{R}r^2 (2\pi-0)  dr=4\pi \int_{0}^{R}r^2 dr=
=4\pi \left[\frac{r^3}{3}\right]_{0}^R=\frac{4}{3}\pi R^3

que coincide com a fórmula para o volume da esfera.

Referências

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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