Coordenadas parabólicas

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As coordenadas parabólicas são um sistema bidimensional de coordenadas ortogonais em que as linhas coordenadas são parábolas confocais. A versão tridimensional das coordenadas parabólicas é obtida através da rotação do sistema bi-dimensional sobre o eixo de simetria de todas as parábolas.

As coordenadas parabólicas possuem muitas aplicações, por exemplo, no tratamento do efeito Stark e da teoria potencial das arestas.

Coordenadas parabólicas bidimensionais[editar | editar código-fonte]

AS coordenadas parabólicas bidimensionais (\sigma, \tau) são definidas pelas equações


x = \sigma \tau\,

y = \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right)

As curvas com \sigma constante formam parábolas confocais


2y = \frac{x^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}

voltadas para cima (ou seja, no sentido +y), ao passo que as curvas com \tau constante formam parábolas confocais


2y = -\frac{x^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}

voltadas para baixo (ou seja, no sentido -y). Os focos de todas essas parábolas estão localizados na origem.

Fatores de escala bidimensionais[editar | editar código-fonte]

Os fatores de escala para as coordenadas parabólicas (\sigma, \tau) são iguais a


h_{\sigma} = h_{\tau} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}

Daí, o elemento infinitesimal de área é


dA = \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau

E o laplaciano vale


\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left(  \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} + 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}} \right)

Outros operadores diferenciais tais como \nabla \cdot \mathbf{F} e \nabla \times \mathbf{F} podem ser expressos nas coordenadas (σ, τ) substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais para coordenadas ortogonais.

Coordenadas parabolicas tridimensionais[editar | editar código-fonte]

Superfícies coordenadas das coordenadas parabólicas tridimensionais. O parabolóide vermelho corresponde a τ=2, o parabolóide azul corresponde a σ=1, e o semi-plano amarelo corresponde a φ =- 60 °. As três superfícies se intersectam no ponto P (mostrado como uma esfera preta) de coordenadas cartesianas aproximadamente iguais a (1,0; -1,732; 1,5).

As coordenadas parabólicas bidimensionais formam a base para dois conjuntos de coordenadas ortogonais tridimensionais. As coordenadas cilíndricas parabólicas são produzidas por projeção na direção z.

A rotação sobre o eixo de simetria das parábolas produz um conjunto de parabolóides confocais, formando um sistema de coordenadas que também é conhecido como "coordenadas parabólicas"


x = \sigma \tau \cos \varphi

y = \sigma \tau \sin \varphi

z = \frac{1}{2} \left(\tau^{2} - \sigma^{2} \right)

onde as parábolas estão alinhadas com o eixo z, sobre o qual a rotação foi realizada. Assim, o ângulo azimutal \phi é definido por



\tan \varphi = \frac{y}{x}

As superfícies cujo \sigma é constante formam parabolóides confocais


2z = \frac{x^{2} + y^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}

Com concavidade para cima (ou seja, no sentido +z), enquanto que as superfícies com \tau constante formam parabolóides confocais


2z = -\frac{x^{2} + y^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}

D econcavidade para baixo (ou seja, na direção -z). Os focos de todos estes parabolóides estão localizados na origem.

O tensor métrico de Riemann associado a este sistema de coordenadas é

 g_{ij} = \begin{bmatrix} \sigma^2+\tau^2 & 0 & 0\\0 & \sigma^2+\tau^2 & 0\\0 & 0  & \sigma^2\tau^2 \end{bmatrix}

Fatores de escala tridimensionais[editar | editar código-fonte]

Os três fatores de escala tridimensionais são:

h_{\sigma} = \sqrt{\sigma^2+\tau^2}
h_{\tau}   = \sqrt{\sigma^2+\tau^2}
h_{\varphi} = \sigma\tau\,

Nota-se que os fatores de escala h_{\sigma} e h_{\tau} são os mesmos do caso bidimensional. O elemento infinitesimal de volume é então


dV = h_\sigma h_\tau h_\varphi = \sigma\tau \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)\,d\sigma\,d\tau\,d\varphi

E o laplaciano é dado por


\nabla^2 \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left[
\frac{1}{\sigma} \frac{\partial}{\partial \sigma} 
\left( \sigma \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right) +
\frac{1}{\tau} \frac{\partial}{\partial \tau} 
\left( \tau \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right)\right] +
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2}

Outros operadores diferenciais tais como \nabla \cdot \mathbf{F} e \nabla \times \mathbf{F} podem ser expresso nas coordenadas (\sigma, \tau, \phi) substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais encontradas em coordenadas ortogonais.

Uma formulação alternativa[editar | editar código-fonte]

A conversão de coordenadas cartesianas para as parabólicas é efetuada através da seguinte transformação:

 \xi = \sqrt{\sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 } + z},
 \eta = \sqrt{\sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 } - z},
 \phi = \arctan {y \over x}.

O jacobiano da transformação de coordenadas dado em termos infinitesimais como sendo


\begin{bmatrix}d\eta\\d\xi\\d\phi\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
    \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
&   \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
&-1+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\
    \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
&   \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
&1 +\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\
\frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}dx\\dy\\dz\end{bmatrix}

sob as condições \eta\ge 0, e \xi\ge 0.

Se φ = 0, então uma seção transversal é obtida; as coordenadas se limitam ao plano xz:

 \eta = -z + \sqrt{ x^2 + z^2},
 \xi = z + \sqrt{ x^2 + z^2}.

Se η=c (uma constante), então

 \left. z \right|_{\eta = c} = {x^2 \over 2 c} - {c \over 2}.

Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria da parábola é vertical e sua concavidade é voltada para cima.

Se ξ=c então

 \left. z \right|_{\xi = c} = {c \over 2} - {x^2 \over 2 c}.

Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria é vertical e sua concavidade é voltada para baixo.

Agora considere qualquer parábola η=c para cima e qualquer parábola ξ= b para baixo. É desejável encontrar sua interseção:

 {x^2 \over 2 c} - {c \over 2} = {b \over 2} - {x^2 \over 2 b},

rearrumando,

 {x^2 \over 2 c} + {x^2 \over 2 b} = {b \over 2} + {c \over 2},

evidenciando ,

 x^2 \left( {b + c \over 2 b c} \right) = {b + c \over 2},

cancelando os fatores comuns de ambos os lados,

 x^2 = b c, \,

tomando a raiz quiadrada,

 x = \sqrt{b c}.


x é a média geométrica de b e c. A abscissa da intersecção foi encontrada. Vamos encontrar a ordenada. Substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para cima:

 z_c = {b c \over 2 c} - {c \over 2} = {b - c \over 2},

em seguida, substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para baixo:

 z_b = {b \over 2} - {b c \over 2 b} = {b - c \over 2}.

zc = zb, com deveria ser. Logo, o ponto de intersecção é

 P : \left( \sqrt{b c}, {b - c \over 2} \right).

Desenhe um par de tangentes através do ponto P, cada uma tangente a cada parábola. A reta tangente através do ponto P à parábola superior tem inclinação:

 {d z_c \over d x} = {x \over c} = { \sqrt{ b c} \over c} = \sqrt{ b \over c} = s_c.

A reta tangente através do ponto P à parábola inferior tem inclinação:

 {d z_b \over d x} = - {x \over b} = { - \sqrt{ b c } \over b} = - \sqrt{ {c \over b} } = s_b.

O produto das duas inclinações é

 s_c s_b = - \sqrt{ {b \over c}} \sqrt{ {c \over b}} = -1.

O produto das inclinações é “uma inclinação negativa”, pois as retas são perpendiculares. Isto é verdade para qualquer par de parábolas com concavidades em direções opostas.

Assim, um par de parábolas intercepta-se em dois pontos, mas quando φ é zero, ele realmente limita as outras coordenadas ξ e η a se moverem no semi-plano com x>0, pois x<0 corresponde a φ = π.

Desta forma, um par de coordenadas ξ e η especificam um único ponto no semi-plano. Então, fazendo φ entre 0 e 2π, o semi-plano gira com o ponto (em torno do eixo z, que é a dobradiça): as parábolas formam parabolóides. Um par de parabolóides opostos formam um círculo, e um valor de φ especifica um semi-plano que corta o círculo de intersecção em um único ponto. As coordenadas cartesianas dos pontos são [Menzel, p. 139]:

 x = \sqrt{\xi \eta} \cos \phi,
 y = \sqrt{\xi \eta} \sin \phi,
 z = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} ( \xi - \eta ).

\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
 \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\xi}{\eta}}\cos\phi
&\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\eta}{\xi}}\cos\phi
&-\sqrt{\xi\eta}\sin\phi\\
 \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\xi}{\eta}}\sin\phi
&\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\eta}{\xi}}\sin\phi
&\sqrt{\xi\eta}\cos\phi\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0
\end{vmatrix}
\cdot
\begin{vmatrix}d\eta\\d\xi\\d\phi\end{vmatrix}

Ver também[editar | editar código-fonte]

  • Sistemas de coordenadas ortogonais tridimensionais:

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 1956. 185–186 pp. LCCN 55-10911
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 1961. 180 pp. LCCN 59-14456, ASIN B0000CKZX7
  • Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 1967. 96 pp. LCCN 67-25285
  • Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 1992. 114 pp. ISBN 0-86720-293-9 Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
  • Moon P, Spencer DE. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions. corrected 2nd ed., 3rd print ed. ed. New York: Springer-Verlag, 1988. 34–36 (Table 1.08) pp. ISBN 978-0387184302

Ligações externas[editar | editar código-fonte]