Coordenadas cilíndricas parabólicas

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Superfícies coordenadas das coordenadas cilíndricas parabólicas. O cilindro parabólico vermelho corresponde a σ = 2, enquanto o cilindro parabólico amarelo corresponde a τ = 1. O plano azul corresponde a z= 2. Estas superfícies se cruzam no ponto P (mostrado como uma esfera preta), cujas coordenadas cartesianas são aproximadamente (2, -1,5, 2).

Em matemática, as coordenadas cilíndricas parabólicas são um sistema de coordenadas ortogonais tridimensionais que resultam da projeção do sistema de coordenadas parabólicas bidimensional na direção perpendicular a z. Assim, as superfícies coordenadas são cilindros parabólicos confocais. As coordenadas cilíndricas parabólicas possuem inúmeras aplicações como, por exemplo, na teoria potencial das arestas.

Definição básica[editar | editar código-fonte]

Sistema de coordenadas parabólicas mostrando as curvas com σ e τ constantes. Os eixos horizontal e vertical são as coordenadas x e y, respectivamente. Tais coordenadas são projetadas ao longo do eixo z, e assim este diagrama vale para qualquer valor da coordenada z.

As coordenadas cilíndricas parabólicas (\sigma, \tau, z) são definidas em termos das coordenadas cartesianas (x,y,z)  por:

x = \sigma \tau\,
y = \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right)
z = z\,

As superfícies com \sigma constante formam cilindros parabólicos confocais de equações


2y = \frac{x^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}

com concavidade voltada para a direção +y, ao passo que as superfícies com \tau constante formam cilindros parabólicos confocais de equações


2y = -\frac{x^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}

com concavidade voltada para a direção oposta, isto é, na direção -y. Os focos de todos estes cilindros parabólicos estão localizados ao longo da reta definida por x=y=0. O raio r tem uma equação simples, a saber,


r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{2} \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)

que é útil na resolução da equação de Hamilton-Jacobi em coordenadas parabólicas para o problema da forca central inversa ao quadrado da distância, da mecânica. Para mais detalhes, ver o artigo vetor de Laplace-Runge-Lenz.

Fatores de escala[editar | editar código-fonte]

Os fatores de escala para as coordenadas cilíndricas parabólicas \sigma e \tau são:


h_{\sigma} = h_{\tau} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}
h_{z}=1\,

O elemento infinitesimal de volume é


dV = h_\sigma h_\tau h_z=\left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau dz

e o laplaciano é igual a


\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left(  \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} + 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}} \right) +
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial z^{2}}

Outros operadores diferenciais tais como \nabla \cdot \mathbf{F} e \nabla \times \mathbf{F} podem ser expressos nas coordenadas (\sigma, \tau) substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais em coordenadas ortogonais.

Harmônicos cilindro parabólico[editar | editar código-fonte]

Uma vez que todas as superfícies com σ, τ and z  são conicóides, a equação de Laplace é separável em coordenadas cilíndricas parabólicas. Usando a técnica da separação de variáveis, uma solução independente para a equação de Laplace pode ser escrita como:

V=S(\sigma)\,T(\tau)\,Z(z)

E a equaçao de Laplace, ao ser dividida por V , é escrita como:

\frac{1}{\sigma^2+\tau^2}
\left[\frac{\ddot{S}}{S}+\frac{\ddot{T}}{T}\right]+\frac{\ddot{Z}}{Z}=0

Uma vez que a equação em Z  está separada dos outros termos, podemos escrever

\frac{\ddot{Z}}{Z}=-m^2

Onde m  é constante. A solução para Z(z) é:

Z_m(z)=A_1\,e^{imz}+A_2\,e^{-imz}\,

Substituindo -m^2 por \ddot{Z}/Z , a equação de Laplace agora pode ser escrita como:

\left[\frac{\ddot{S}}{S}+\frac{\ddot{T}}{T}\right]=m^2(\sigma^2+\tau^2)

Ainda podemos separar as funções S  e T  e introduzir uma constante n^2 para obter:

\ddot{S} - (m^2\sigma^2+n^2)S=0
\ddot{T} - (m^2\tau^2   -n^2)T=0

As soluções para essas equaçoes são as funções cilindro parabólico

S_{mn}(\sigma) = A_3\,y_1(n^2/2m,\sigma\sqrt{2m}) + A_4\,y_2(n^2/2m,\sigma\sqrt{2m})
T_{mn}(\tau)   = A_5\,y_1(n^2/2m,i\tau \sqrt{2m}) + A_6\,y_2(n^2/2m,i\tau \sqrt{2m})

Os harmônicos cilindro parabólico para (m,n) são então o produto das soluções. A combinação reduz o número de constantes e a solução geral para a equação de Laplace pode ser escrita como:

V(\sigma,\tau,z)=\sum_{m,n} A_{mn} S_{mn} T_{mn} Z_m\,

Aplicações[editar | editar código-fonte]

As aplicações clássicas das coordenadas cilíndricas parabólicas encontram-se na resolução de equações diferenciais parciais, como por exemplo a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as quais essas coordenadas permitem a utilização da técnica de separação das variáveis. Um exemplo típico seria o [[campo eletrico em torno de uma placa plana semi-infinita condutora.

Ver também[editar | editar código-fonte]

  • Sistemas de coordenadas ortogonais tridimensionais:

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 1961. p. 181. LCCN 59-14456, ASIN B0000CKZX7.
  • Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 1967. p. 96. LCCN 67-25285.
  • Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 1992. p. 114. ISBN 0-86720-293-9. Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
  • Moon P, Spencer DE. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions. corrected 2nd ed., 3rd print ed.. ed. New York: Springer-Verlag, 1988. 21–24 (Table 1.04) pp. ISBN 978-0387184302.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]