Usuário(a):VpWk/Conjunto solução

Em matemática, um conjunto solução é o conjunto de valores que satisfazem um determinado conjunto de equações ou desigualdades.

Por exemplo, para um conjunto $\{f_{i}\}$ de polinômios sobre um anel $R$, o conjunto solução é o subconjunto de $R$ em que todos os polinômios se igualam a zero. Formalmente

$\{x\in R:\forall i\in I,f_{i}(x)=0\}$

A região factível de um problema de otimização com restrições é o conjunto solução das restrições.

Exemplos

1. O conjunto solução da equação $x=0$ é o conjunto {0}.
2. Para qualquer polinômio diferente de zero $f$ sobre os números complexos em uma variável, o conjunto solução é composto de um número finito de pontos.
3. Porém, para um polinômio complexo em mais de uma variável o conjunto solução não possui pontos isolados.

Observações

Na geometria algébrica, os conjuntos de soluções são chamados de conjuntos algébricos se não houver desigualdades. Sobre os reais, e com desigualdades, são chamados de conjuntos semialgébricos .

Outros significados

De forma mais geral, o conjunto solução para uma coleção arbitrária E de relações (E_i) (i variando em algum conjunto de índices I) para uma coleção de incógnitas ${(x_{j})}_{j\in J}$, que assume valores nos respectivos espaços ${(X_{j})}_{j\in J}$, é o conjunto S de todas as soluções para as relações E, onde uma solução $x^{(k)}$ é uma família de valores ${\textstyle {\left(x_{j}^{(k)}\right)}_{j\in J}\in \prod _{j\in J}X_{j}}$ tal que substituindo ${\left(x_{j}\right)}_{j\in J}$ por $x^{(k)}$ na coleção E torna todas as relações "verdadeiras".

(Em vez de relações dependentes de incógnitas, deve-se falar mais corretamente de predicados, a coleção E é sua conjunção lógica, e o conjunto de soluções é a imagem inversa do valor booleano verdadeiro pela função a valor booleano associada.)

O significado acima é um caso especial deste, se o conjunto de polinômios f_i for interpretado como o conjunto de equações f_i(x)=0.

Exemplos

• O conjunto solução para E = { x + y = 0 } em relação a $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ é S = { ( a ,− a ): a ∈ R }.
• O conjunto solução para E = { x + y = 0 } em relação a $x\in \mathbb {R}$ é S = { − y }. (Aqui, y não é "declarado" como uma incógnita e, portanto, deve ser visto como um parâmetro do qual a equação, e portanto o conjunto de soluções, depende.)
• O conjunto solução para $E=\{{\sqrt {x}}\leq 4\}$ em relação a $x\in \mathbb {R}$ é o intervalo S = [0,2] (uma vez que ${\sqrt {x}}$ é indefinido para valores negativos de x ).
• O conjunto solução para $E=\{e^{ix}=1\}$ em relação a $x\in \mathbb {C}$ é S = 2πZ (veja a identidade de Euler ).

Veja também

• Resolução de equações
• Soluções estranhas e ausentes

[[Categoria:Equações]]