Anel de polinômios

O anel de polinômios com coeficientes em um anel qualquer e qualquer número de indeterminadas é a generalização dos anéis como $\mathbb {R} [x]\,$, dos polinômios com coeficientes reais p(x) = a₀ + a₁ x + ... + a_n xⁿ.

De forma genérica, para definir-se o anel dos polinômios precisa-se:

• um anel A dos coeficientes;
• um conjunto S das indeterminadas.

As indeterminadas aqui tem um significado puramente abstrato, não sendo exigido que S tenha nenhuma estrutura. Assim, é conveniente que S seja um conjunto de símbolos, e (para evitar ambiguidades) que seja disjunto de A.

Um polinômio com coeficientes em A e indeterminadas em S pode ser:

• o polinômio nulo, denominado 0 (exceto quando haja necessidade de fazer alguma diferença entre este polinômio e o elemento neutro de A; neste caso, podem-se usar índices para marcar a diferença entre eles: 0_A e 0_A[S]).
• os monômios, que são representados pela justaposição de um elemento (não-nulo) de A seguido de um número finito de elementos de S (podendo ser nenhum) elevados a uma potência inteira positiva. Por exemplo, se $2\in A\,$ e S = {x, y}, então 2, 2 x¹ e 2 x² y³ são monômios. Aqui é importante notar que os produtos de potências de S comutam, por exemplo, 2 x² y³ = 2 y³ x². Quando a potência for um, representa-se o monômio sem este valor: 2 x² y¹ = 2 x² y.
• uma soma de dois ou mais monômios (mas sempre uma quantidade finita), em que a parte indeterminada de todas parcelas são diferentes. Novamente, esta soma é comutativa, de forma que duas somas que diferem por uma permutação das parcelas são iguais.

O anel de polinômios é este conjunto A[S] com duas operações de soma de polinômios e produto de polinômios, definidas de forma que:

• o polinômio nulo é elemento neutro aditivo
• A[S] é um anel
• o produto de monômios se comporta como se as indeterminadas comutassem entre si, e que o produto de xⁿ e x^m seja x^{n + m}

Existem várias formas equivalentes de criar modelos para A[S], por exemplo o conjunto $A[S]$ de todos os objetos

$\sum _{i=1}^{m}a_{i}x_{1}^{k_{i_{1}}}\cdots x_{n}^{k_{i_{n}}}$,[1]

onde $a_{1},\ldots ,a_{m}\in A$, $x_{1},\ldots ,x_{n}\in S$, cada $n$-tupla$(k_{i1},\ldots ,k_{in})$ de números inteiros positivos é diferente para diferente valor de $i$, pode servir de modelo para o anel de polinômios com indeterminadas em $S$ sobre $A$.

É importante notar que essa expressão é puramente formal, não significando nenhuma operação interna dos elementos de S. No caso particular em que m = 0, temos o polinômio nulo, também representado por 0. No caso particular m = 1, temos um monômio. No caso particular m = 1 e n = 0, temos um elemento de A sendo usado para representar um elemento de A[S].

Introdução

Os polinômios mais conhecidos são os que têm coeficientes inteiros. Por exemplo, tomando $A$ como o anel $\mathbb {Z}$ e $~S=\{x,y\}$, um elemento de $\mathbb {Z} [S]$ pode ser

$~4x^{3}y-5xy^{2}+3y^{3}$. [2]

Note-se que, se bem que o conjunto de indeterminadas $S$ possa ser um conjunto infinito, cada polinômio contém um número finito de termos.

Se $S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$, então se pode escrever $A[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ no lugar de $A[S]$. Assim, $A[x]$ é um anel de polinômios em uma só indeterminada $x$.

Pode notar-se facilmente que cada elemento de $a\in A$ é refletido em $A[S]$ como o monômio a.

É possível mostrar que A é um sub-anel de A[S] (mais precisamente, A é isomorfo a um sub-anel de A[S]).

Propriedades fundamentais

Fatos de interesse sobre anéis de polinômios têm que ver com as propriedades do mesmo a partir do anel no que têm seus coeficientes. Por exemplo, quando $A$ é um domínio de integridade, $A[S]$ também o é, e as unidades de $A[S]$ são as mesmas que as de $A$. Pelo contrário $A[S]$ nunca será um corpo, não importando que $A$ o seja ou não, pois ainda que as unidades de $A[S]$ sejam as mesmas que as de $A$, $A$ é tão somente um sub-anel de $A[S]$. Entretanto, o anel $A[S]$ é um domínio de integridade se $A$ o é, logo, dado o caso, se pode construir o corpo de quocientes de $A[S]$ (i.e. o corpo de frações de polinômios), que se nota comumente por $A(S)$.

Os coeficientes dos polinômios de um anel $A[S]$ podem tomar-se não somente como os elementos de $A$. Na prática, podemos fazer agrupamentos do tipo

$~4x^{2}y^{3}-5xy^{2}+2zy=(4x^{2})y^{3}-(5x)y^{2}+2zy$

e estas também devem fazer-se em um anel de polinômios $A[S]$. Para ele se separam os elementos de $S$ em dois conjuntos disjuntos, digamos $R$ e $T$, logo o anel de polinômios $A[R][T]$ tem coeficientes no anel de polinômios $A[R]$ e indeterminadas em $T\subset S$.

Se $A$ é um anel e $R\subseteq S$, claramente $A[R]$ é um sub-anel de $A[S]$.

Seja $A$ um anel unitário. Todo polinômio não nulo de $A[x]$ cujo coeficiente diretor seja uma unidade pode dividir euclidianamente a qualquer outro polinômio de $A[x]$ e o grau do resto é estritamente menor que o grau do divisor. Ou seja, se $D$ y $d$ são polinômios de $A[x]$ não nulos, como o coeficiente diretor de $d$ uma unidade de $A$, então existem polinômios $c$ e $r$ de $A[x]$ tais que

$~D=dc+r$|med=con|der=$\mathrm {grad} \,r<\mathrm {grad} \,d$.

Assim, para que a divisão de polinômios seja sempre possível em um anel de polinômios $A[x]$, $A$ deve ser um corpo (i.e. todo elemento de A deve ser uma unidade), e se assim sucede $A[x]$ será um domínio euclidiano. Um fato muito importante é que um anel de polinômios $A[x]$ é um domínio de ideais principais (DIP) se e somente se $A$ é um corpo. Posto que todos os domínios euclidianos são DIPs, temos que $A[S]$ não é um domínio euclidiano se $S$ contém mais de um elemento, pois $A[S]=A[S\setminus \{x\}][x]$, e $A[S\setminus \{x\}]$ nunca é um corpo e portanto tampouco um DIP.

Definição formal

Os monômios puros

A definição formal dos anéis de polinômios parte da definição dos monômios puros (sem coeficientes em um anel). Note-se que se $S$ é um conjunto e, por exemplo, $x,y,z\in S$, um monômio a partir de $S$ pode ser

$~x^{2}yz^{3}$. [3]

No monômio puro anterior, cada um dos elementos $x,y,z\in S$ tem um expoente natural. Portanto, podemos considerar a cada monômio com indeterminadas em $S$ como uma aplicação $u:S\longrightarrow \mathbb {N}$ (aqui e no resto do artigo consideramos que $\mathbb {N}$ inclui o zero). O monômio [3] seria entendido então como a aplicação $u$ dada por $u(x)=2$, $u(y)=1$, $u(z)=3$ e onde $u$ se anula para todos os demais elementos (se estes existem) de $S$. Observar que um monômio puro é o produto de um número finito de indeterminadas. Ainda que $S$ seja infinito, podemos obter um monômio $u$ fazendo que $u(s)$ seja nulo para todas aquelas indeterminadas que não queremos que apareçam no monômio. Por exemplo, se $S=\{x,y,z\}$, o monômio

$~x^{4}y^{2}$ [4]

se corresponde com a aplicação $u$ dada por $u(x)=4$, $u(y)=2$ e $u(z)=0$.

Em vista das considerações anteriores, a definição de um conjunto de monômios puros tem de ser a seguinte:

Definição

Seja $S$ um conjunto. O conjunto dos monômios puros com indeterminadas em $S$, representado por $M$, é o conjunto de todas as aplicações $u:S\longrightarrow \mathbb {N}$ tais que o conjunto $\{s\in S\mid u(s)\neq 0\}$ é finito.

(1)

Se $u,v\in M$, se definem as aplicações $~u+v$ e $~ku$, onde $k\in \mathbb {N}$, mediante

$~(u+v)(s)=u(s)+v(s)$ e $ku(s)=k\left(u(s)\right)$

para todo $s\in S$.

Estas aplicações estão bem definidas, e claramente $u+v\in M$ e $ku\in M$. Vemos pois que se $u,v$ são aplicações de $M$, $u+v$ se interpreta como o produto dos monômios puros representados por $u$ e $v$, e se $k$ é um número natural, $ku$ se interpreta como a potência $m$-ésima do monômio puro representado por $u$.

Note-se que o monômio puro $e$ de $M$ que toma constantemente o valor 0 é tal que

$u+e=e+u=u$ e $ke=ek=e$

para todo $u\in M$. Assim, este monômio se representa pelo mesmo símbolo 0.

Observe-se que o elemento $x\in S$ se interpreta em $M$, claramente, como a aplicação $~\epsilon _{x}$ que vale 1 em $x$ e 0 em qualquer outro caso. Nestos termos qualquer monômio puro $u$ de $M$ pode escrever-se como

$u=u(x_{1})\epsilon _{x_{1}}+\cdots +u(x_{n})\epsilon _{x_{n}}$ [5]

onde $x_{1},\ldots ,x_{n}\in S$ são os elementos de $S$ para os quais a aplicação $u$ não se anula (por definição, estes elementos são sempre um número finito). Claramente, cada termo

$u(x_{i})\epsilon _{x_{i}}$ [6]

de [5] representa o fator $x_{i}^{u(x_{i})}$ no monômio puro representado por $u$. Ou seja, [5] se entende como o monômio puro

$x_{1}^{u(x_{1})}\cdots x_{n}^{u(x_{n})}$. [7]

Polinômios com coeficientes em um anel

Para dar andamento à definição de um anel de polinômios, observemos que um polinômio, como [2], é uma soma finita de monômios puros (pre-)multiplicados por coeficientes em um anel (no caso de [2] os coeficientes são inteiros). Assim, por exemplo, é suficiente associar o polinômio [2] com uma aplicação $p:M\longrightarrow \mathbb {Z}$, onde $S=\{x,y\}$, tal que $p$ toma o valor do coeficiente correspondente quando se valora em um monômio $u\in M$.

Em vista disto temos:

Sejam $S$ um conjunto, $A$ um anel e $M$ o conjunto de monômios puros da definição [1]. O anel de polinômios com indeterminadas em $S$ sobre $A$ é o conjunto $A[S]$ de todas as aplicações $p:M\longrightarrow A$ tais que o conjunto $\{u\in M\mid p(u)\neq 0\}$ é finito.

Podemos considerar agora os monômios com coeficientes no anel $A$ como casos especiais de polinômios. Se $A$ é unitário, então podemos considerar o polinômio $p$ que vale 1 em $u$ e 0 em qualquer outro caso como o próprio monômio puro $u$. Para ver-se que, na realidade, tanto $S$ como $A$ são, do ponto de vista algébrico, um subconjunto de $A[S]$ e que efetivamente $A[S]$ é um anel que contém $A$ como um sub-anel, é necessário definir as operações de anel sobre $A[S]$.

Operações sobre $A[S]$

Definições

A adição sobre $A[S]$ claramente pode ser definida assim:

Sejam $p,q$ polinômios de $A[S]$. Se define $p+q$ como a aplicação dada por

$~(p+q)(u)=p(u)+q(u)$ 8

para todo monômio puro $u\in M$. Fica claro que $p+q\in A[S]$.

Esta definição se interpreta como a redução dos termos semelhantes (i.e. os coeficientes de um mesmo monômio $u$) de $p$ e $q$. Quando multiplicamos polinômios, costumamos somar os termos semelhantes que surjam no produto para obter um polinômio o mais reduzido possível. Em vista disto, temos a definição da multiplicação em $A[S]$:

Sejam $p,q$ polinômios de $A[S]$. Se define $pq$ como a aplicação dada por

$~pq(u)=\sum _{s+t=u}p(s)q(t)$ '[9]

para todo monômio puro $u\in M$. O membro direito de [9] é a soma de todos os produtos $p(s)q(t)$ tais que $s+t=u$. A aplicação $pq$ é claramente um polinômio de $A[S]$.

Propriedades de anel

A respeito das operações de adição e multiplicação, segundo tem sido definidas, o conjunto $A[S]$ cumpre com que:

$A[S]$ é um anel Se $A$ é um anel e $S$ é um conjunto então $A[S]$ é um anel.

Referências

• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, MR1878556, ISBN 978-0-387-95385-4
• Osborne, M. Scott (2000), Basic homological algebra, Graduate Texts in Mathematics, 196, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1757274, ISBN 978-0-387-98934-1

Ligações externas

• «Polynomial rings - PlanetMath» (em inglês) 
• «Polynomial Ring - Wolfram MathWorld» (em inglês) 
• «Polynomial Ring - the class of all ordered monoid rings - www.math.uiuc.edu» (em inglês) 
• «Polynomial Ring - The MathResource» (em inglês)