Espaço vetorial: diferenças entre revisões
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que coisa chataaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!!!! |
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Revisão das 21h15min de 9 de julho de 2008
Um dos conceitos básicos em álgebra linear é o de espaço vectorial (português europeu) ou espaço vetorial (português brasileiro) ou espaço linear.
A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a idéia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto de elementos e duas operações definidas sobre os elementos deste conjunto, adição e multiplicação por números reais. A multiplicação por reais pode ser trocada ainda por algo mais geral como mostrado a seguir.
Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor ou igual a ( ∈ N) formam um espaço vetorial, por exemplo, assim como grupos de matrizes × e o espaço de todas as funções de um conjunto no conjunto R dos números reais.
Definição
Um espaço vectorial é uma entidade formada dos seguinte elementos:
- Um corpo , ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados de escalares. Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.
- Um conjunto dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal +) de em . Os elementos de V serão chamados de vetores.
- Uma operação . de em .
Observação: na definição acima e nas propriedades abaixo, estão sendo usados símbolos de soma (+) e produto (.) para representar, em cada caso, duas funções distintas: para elementos de não é o mesmo que para elementos de , assim como para elementos de não é o mesmo que quando ∈ e ∈ . Caso possa haver confusão, recomenda-se o uso de símbolos diferentes para essas operações, por exemplo usar para as operações de e para as operações de em e de em . Neste caso, costuma-se dizer que o espaço vetorial é a sêxtupla ordenada (a generalização de par ordenado, mas com 6 elementos) .
Os seguintes axiomas (além de K ser um corpo) devem valer para que os elementos acima constituam um espaço vectorial:
- para u, v e w elementos de V (associatividade)
- Há um elemento ∈ , tal que, para cada ∈ , (existência de elemento neutro)
- Para cada ∈ , existe ∈ tal que (existência de elemento inverso)
- Para cada ∈ , (comutatividade)
- Para cada ∈ e cada ∈ ,
- Se é a unidade de , então, para cada ∈ ,
- Para cada ∈ e cada ∈ ,
- Para cada ∈ e cada ∈ ,
Os axiomas de 1 a 4 mostram que com relação a operação de adição um espaço vetorial é um grupo abeliano. O elemento cuja existência é garantida pelo terceiro axioma é único (como em qualquer grupo) e representa-se por .
O conceito de espaço vetorial (e os vetores como seus elementos) é inteiramente abstrato, como os conceitos de grupos, anéis, corpos, etc. Para determinar se um conjunto é um espaço vetorial, temos apenas que especificar o conjunto, o corpo , e definir adição em e multiplicação por escalar em . Então se satisfizer as condições acima ele será um espaço vetorial sobre o corpo .
Em uma demonstração rigorosa, os axiomas 2 e 3 (elemento neutro e elemento inverso em V) podem ser omitidos, porque eles podem ser facilmente deduzidos a partir dos outros axiomas:
- Sejam 0 e 1 os elementos neutros aditivo e multiplicativo de K. Então, como 1.v = v qualquer que seja v, temos que 0.v + v = 0.v + 1.v = (0+1).v = 1.v = v, ou seja, 0.v é o elemento neutro de V
- Em K, existe um elemento -1 tal que -1 + 1 = 0. Logo, (-1).v + v = (-1).v + 1.v = (-1 + 1).v = 0.v, ou seja, (-1).v é o elemento inverso de v.
Propriedades
- Se ∈ , então . Isto é assim porque
- .
- Se ∈ , então . Isto é assim porque
- .
- Se ∈ , . Isto é assim porque
- .
- Se ∈ e ∈ , então . Isto é assim porque
- .
Terminologia
- Um espaço vectorial sobre R, o conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real.
- Um espaço vectorial sobre C, o conjuntos dos números complexos, é chamado espaço vetorial complexo.
- Um espaço vetorial com um conceito definido de comprimento, isto é uma norma definida, é chamado espaço vectorial normado.
Tipos de Espaços Vectoriais
- Espaço Vectorial Euclidiano: É qualquer espaço real que possui um número finito de dimensões e possui uma operação denominada produto interno.
- Espaço de Hilbert: É qualquer espaço vetorial que possui uma operação denominada produto interno e cuja métrica gerada por esse produto interno o torne um espaço completo.
- Espaço normado: É qualquer espaço vetorial que possui uma norma definida
- Espaço de Banach: É um espaço normado completo na métrica gerada por esta norma.
- Espaço vectorial topológico: se existe uma topologia compatível com as operações de espaço vectorial.
Veja também
- Base de um Espaço Vetorial
- Subespaço vetorial
- Módulo (álgebra): a generalização de espaço vetorial, quando o conjunto dos escalares é um anel
- Álgebra sobre um corpo: se existe uma multiplicação de vetores satisfazendo alguns axiomas
Ligações externas
- Livro Álgebra Vetorial e Geometria Analítica: Livro do Prof. Jacir J. Venturi, de 242 páginas, disponível na íntegra para acesso gratuito.