Resíduo (análise complexa)

Gráfico tridimensional do valor absoluto da função gama complexa

Em análise complexa, o resíduo de uma função analítica f numa singularidade p é um número complexo que permite calcular o valor de um integral de linha de f cuja imagem esteja na vizinhança de p. Há métodos simples de cálculo de resíduos e, por outro lado, o conhecimento dos resíduos de f permite calcular integrais de f ao longo de lacetes arbitrários, através do teorema dos resíduos.

Motivação

Como exemplo, considere a integral de contorno

$\oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz$

onde C é uma curva de Jordan em torno de 0.

Agora calculamos essa integral utilizando os teoremas padrões de integral disponíveis. Assim, a série de Taylor para e^z é conhecida, e podemos substituir esta série no integrando. A integral passa a ser

$\oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.$

Trazendo o termo 1/z⁵ para dentro da série, obtemos

$\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz=$

$\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.$

A integral agora toma uma forma muito mais simples. Lembre-se que

$\oint _{C}{1 \over z^{a}}\,dz=0,\quad a\in \mathbb {Z} ,{\mbox{ para }}a\neq 1.$

Então, a integral em torno de C de todos os termos que não estão na forma cz⁻¹ são iguais a zero e a integral é reduzida a

$\oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.$

O valor 1/4! é conhecido como o resíduo de e^z/z⁵ em z = 0, e denotado como

$\mathrm {Res} (f,0),\mathrm {ou} \ \mathrm {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}}\mathrm {ou} \ \mathrm {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},.$

Definição

Seja $\Omega$ um subconjunto aberto do plano complexo $\mathbb {C}$, e $z_{0}$ um ponto de $\Omega$. Seja

$f:\Omega \setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$

uma função holomorfa, que apresenta em $z_{0}$ uma singularidade isolada e possui uma única expansão local na série de Laurent

$f(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}.$

O resíduo de $f$ em $z_{0}$ é o coeficiente $a_{-1}$ da série de Laurent.

Ver também

• Teorema dos resíduos
• Fórmula integral de Cauchy
• Teorema de Cauchy-Goursat
• Teorema de Morera

Bibliografia

• L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.
• Ruel V. Churchill, Complex variables and applications, McGrall Hill, 1960

Ligações externas

• Eric W. Weisstein, Complex Residue no MathWorld.
• «Module for Residues por John H. Mathews»