Função sinc

Em matemática, a função sinc, denotada por sinc (x) e às vezes como Sa (x), tem duas definições praticamente equivalentes. Na teoria de processamento digital de sinais e informações, a função sinc normalizada é comumente definida por:

$\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.\,\!$

A função sinc é dita normalizada porque a sua integral sobre todos os x é 1. A transformada de Fourier da função sinc normalizada é a função retangular sem escala. Esta função é fundamental no conceito de reconstrução de sinais originais contínuos limitados em banda, a partir de amostras uniformemente espaçadas desse sinal.

Em matemática, a função sinc não-normalizada historicamente é definida por

$\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}.\,\!$

A única diferença entre as duas definições está na escala da variável independente (o eixo x) por um fator de π. Em ambos os casos, o valor da função na singularidade removível em zero é entendido como o valor limite 1. A função sinc é analítica em toda parte.

O termo "sinc" é uma contração do nome da função em latim sinus cardinalis (seno cardinal).

Propriedades

A função sinc normalizada (em azul) e a função sinc não-normalizada (em vermelho), mostradas na mesma escala de x = −6π a 6π.

Os zeros do sinc não normalizado são múltiplos não nulos de π; já os zeros do sinc normalizado são inteiros não nulos.

Os máximos e mínimos locais do sinc não-normalizado correspondem à sua intersecção com a função cosseno. Ou seja, sen(ξ)/ξ = cos(ξ) para todos os ξ onde a derivada de sen(x)/x é nula (e, portanto, um extremo local é atingido).

A função sinc normalizada tem uma representação simples como o produtório infinito

${\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)\,\!$

e está relacionada à função gama $\Gamma (x)$ pela fórmula de reflexão de Euler:

${\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.\,\!$

Euler descobriu que

${\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right).$

A transformada de Fourier contínua do sinc normalizado (à frequência comum) é rect(f),

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\mathrm {rect} (f),\,\!$

onde a função retangular é 1 para argumentos entre −1/2 e 1/2, e zero no caso contrário. Isto corresponde ao fato de que o filtro sinc é o filtro passa-baixa ideal ("parede de tijolos", ou seja, resposta em freqüência retangular). Esta integral de Fourier, incluindo o caso especial

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\mathrm {rect} (0)=1\,\!$

é uma integral imprópria e não uma integral de Lebesgue convergente como

$\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .$

A função sinc normalizada tem propriedades que a tornam ideal em relação à interpolação de amostras de funções limitadas em banda:

• É uma função de interpolação, ou seja, sinc(0) = 1, e sinc(k) = 0 para k inteiros e não-nulos.
• As funções x_k(t) = sinc(t−k) formam uma base ortonormal para as funções limitadas em banda no espaço de funções L²(R), cuja maior frequência angular é ωH = π (isto é, o ciclo de frequência mais alto é ƒ_H = 1/2).

Outras propriedades das duas funções sinc são:

• O sinc não normalizado é a zerogésima ordem da função de Bessel esférica de primeiro tipo, $\scriptstyle j_{0}(x)$. O sinc normalizado é j₀(πx)..

• $\int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\mathrm {Si} (x)\,\!$

onde Si(x) é o seno integral.

• λ sinc(λ x) (não normalizado) é uma das duas soluções linearmente independentes da EDO linear

$x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.\,\!$

A outra solução é cos(λ x)/x, que diverge em x = 0, ao contrário da função sinc.

• $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \,\!\rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} ^{2}(x)\,dx=1.$

onde o sinc normalizado é significativo.

• $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}\,\!$

• $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}\,\!$

Relação com a função delta de Dirac

A função sinc normalizada pode ser utilizada como uma função delta de Dirac no sentido de que seu limite contém:

$\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)=\delta (x).$

Este não é um limite normal, pois o membro esquerdo não converge. Ademais, isso significa que

$\lim _{a\rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)\varphi (x)\,dx=\varphi (0),$

para qualquer função suave $\scriptstyle \varphi (x)$ em um domínio compacto.

Na expressão acima, à medida que a se aproxima de zero, o número de oscilações por unidade de comprimento da função sinc se aproxima de infinito. No entanto, a expressão sempre oscila dentro de um envelope de ± 1/(π a x), e se aproxima de zero para qualquer valor não nulo de x. Isto contrasta com a definição informal de δ(x) como sendo zero para todos os x exceto o ponto x = 0, e ilustra o problema de se pensar na delta como uma função ao invés de uma distribuição. Uma situação semelhante é encontrada no fenômeno de Gibbs.

Ver também

• Integral de Borwein
• Integral de Dirichlet
• Aliasing
• Filtro sinc
• Reamostragem de Lanczos
• Interpolação de Whittaker–Shannon

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Sinc function», especificamente desta versão.

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Sinc Function» (em inglês). MathWorld