Medida Plancherel

Em matemática, a medida Plancherel é uma medida definida sobre o conjunto de representações irredutíveis unitárias de um grupo localmente compacto $G$, que descreve como a representação regular se fragmenta em representações unitárias irredutíveis. Em alguns casos, o termo medida Plancherel é aplicado especificamente no contexto do grupo $G$ sendo o grupo simétrico finito $S_{n}$. É nomeado em homenagem ao matemático Suíço Michel Plancherel por seu trabalho na representação teoria.

Definição para grupos finitos

Deixe $G$ ser um grupo finito, denotamos o conjunto de suas representações irredutíveis por $G^{\wedge }$. A correspondente medida Plancherel sobre o conjunto $G^{\wedge }$ é definida por

$\mu (\pi )={\frac {(\mathrm {dim} \,\pi )^{2}}{|G|}},$

onde $\pi \in G^{\wedge }$e $\mathrm {dim} \pi$ denota a dimensão da representação irredutível $\pi$.

Definição no grupo simétrico $S_{n}$

Um importante caso especial é o caso do grupo simétrico (finito) $S_{n}$, onde $n$ é um número inteiro positivo. Para este grupo, o conjunto de $S_{n}^{\wedge }$ de representações irredutíveis é uma natural bijectivação com o conjunto de partições inteiras $n$. Para uma representação irredutível associado a um número inteiro de partição $\lambda$, a sua dimensão é conhecida por ser igual a $f^{\lambda }$o número do padrão do Diagrama de Young de forma $\lambda$e , por isso, neste caso a medida Plancherel é muitas vezes considerada como uma medida sobre o conjunto de partições de inteiros de ordem n, dada por

$\mu (\lambda )={\frac {(f^{\lambda })^{2}}{n!}}.$

O fato de que as probabilidades somam até 1 resultam da combinatória de identidade

$\sum _{\lambda \vdash n}(f^{\lambda })^{2}=n!,$

o que corresponde a natureza bijective da correspondência de Robinson–Schensted .

Grupos de Lie semi-simples

A medida Plancherel para os grupos de Lie semi-simples, foi encontrada por Harish-Chandra. O suporte é o conjunto de representações temperadas, e, em particular, nem todas as representações unitárias precisam ocorrer no suporte.