Pirâmide

 Nota: Se procura a estrutura piramidal, veja Pirâmide (arquitetura). Se procura outros significados, veja Pirâmide (desambiguação).

Estrutura básica de uma pirâmide.

Uma pirâmide é um sólido geométrico formado pela reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo $V$ e outra num polígono dado sobre um plano fixo $\alpha$ que não contém $V$. Como exemplos das pirâmides da geometria espacial temos as pirâmides do Egito, uma das sete maravilhas do mundo antigo.

Definição

Ilustração da definição de pirâmide.

Uma pirâmide é a reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo $V$ (vértice) e outra sobre um polígono (base) pertencente a um plano que não contém $V$. Equivalentemente, é um poliedro com uma face poligonal (base) e demais faces triangulares (faces laterais), as quais tem exatamente um ponto em comum (vértice).

Em alguns textos, o termo pirâmide é usado de forma mais abrangente, significando a reunião de todas as semirretas que tem origem em um ponto fixo $V$ e que passam por uma região poligonal que não contém $V$. Isto é, também, conhecido como pirâmide ilimitada. Quando a região poligonal é convexa, também usamos os termos ângulo poliédrico ou ângulo sólido.

Tetraedro.

Pirâmide quadrangular.

Classificação

Uma pirâmide é dita ser convexa quando sua base é um polígono convexo. É dita ser reta quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano que contém sua base é o centro da base. Adicionalmente, uma pirâmide é dita ser regular quando é reta e o polígono da base é regular. Uma pirâmide que não é reta é dita ser oblíqua.

Pirâmides também são classificadas quanto a sua natureza. Uma pirâmide de base triangular é chamada de pirâmide triangular (ou tetraedro). Caso a base seja um quadrilátero, a pirâmide é dita ser quadrangular. Analogamente, definimos as pirâmides pentagonal, hexagonal, etc.

Elementos

Ilustração de alguns elementos de uma pirâmide. Altura $h$, apótema da base $a_{b}$ e apótema lateral $a_{l}$.

Os seguintes elementos são comumente identificados em uma pirâmide:

• base - região poligonal que contém as extremidades opostas de todos os segmentos de reta que partem do vértice e pertencem a pirâmide.
• face lateral - qualquer triângulo de vértices $V$ e dois vértices consecutivos da base.
• aresta lateral - qualquer segmento de reta com uma extremidade em $V$ e outro em um vértice da base.
• aresta da base - qualquer lado do polígono da base.
• diedros - reunião de duas faces laterais consecutivas.
• vértices - $V$ ou qualquer vértice da base.
• triedros - reunião de duas faces laterais consecutivas com a base.

Altura e Apótema

A altura de uma pirâmide é a distância $h$ entre o vértice e o plano da base. Se a pirâmide for reta, então $h$ é igual à distância do centro da base ao vértice da pirâmide.

No caso de uma pirâmide regular, chama-se de apótema lateral a altura de qualquer de uma de suas faces laterais. Apótema da base é a apótema do polígono regular que forma a base da pirâmide.

Área da superfície

A superfície (ou superfície total) de uma pirâmide é a união de todas as suas faces. A união somente das faces laterais é chamada de superfície lateral. Desta forma, a área da superfície lateral é a soma das áreas dos triângulos que a formam. A área da superfície total é a área da superfície lateral somada a área da base da pirâmide.

No caso de uma pirâmide regular, podemos verificar diretamente que a área da superfície lateral é dada por:

$A_{l}=n{\frac {ba_{l}}{2}}$

onde, $n$ é o número de arestas do polígono da base, $b$ é o comprimento de uma aresta da base e $a_{l}$ é o comprimento da apótema lateral da pirâmide. Segue que a área da superfície total da pirâmide é dada por:

$A_{t}=A_{b}+A_{l}$,

onde, $A_{b}$ é a área de sua base.

Volume

Volume de um tetraedro

Tetraedro e o prisma associado.

O volume de um tetraedro é dado por:

$V={\frac {A_{b}\cdot h}{3}}$

onde, $A_{b}$ é a área de sua base e $h$ é sua altura.

Com efeito, todo tetraedro pode ser unido a dois tetraedros congruentes formando um prisma de área da base $A_{b}$ e altura $h$. Ou seja, o volume do tetraedro é um terço do volume do prisma formado.

Volume de uma pirâmide

O volume de uma pirâmide qualquer é dado por:

$V={\frac {A_{b}\cdot h}{3}}$

onde, $A_{b}$ é a área de sua base e $h$ é sua altura. De fato, toda pirâmide pode ser particionada em um conjunto finito de tetraedros de vértice igual ao da pirâmide e cujas bases pertencem à base da mesma.

Ver também

• Pirâmides egípcias
• Pirâmides núbias
• Pirâmides chinesas
• Pirâmides mesoamericanas
• Número piramidal
• Poliedro
• Polígono
• Sólido

Ligações externas

• Brasil Escola - Pirâmides
• eGuia do Estudante - Pirâmides - Geometria Espacial
• InfoEscola - Pirâmide
• Matemática Essencial - Geometria Espacial - Pirâmide
• Só Matemática - Geometria Espacial - Pirâmide