Testes de convergência

Na matemática, os testes de convergência são métodos para confirmar e testar a convergência, convergência condicional, convergência absoluta, intervalo de convergência ou divergência de uma série infinita $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ .

Lista de testes

Limite da soma

Se o limite da soma for indefinido ou diferente de zero, isso é $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$, então a série deve divergir. Nesse sentido, as somas parciais são de Cauchy apenas se esse limite existir e for igual a zero. O teste é inconclusivo se o limite da soma for zero.

Teste de razão

Isso também é conhecido como critério de D'Alembert .

Suponha que existe $r$ de tal modo que

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

Se r <1, a série é absolutamente convergente. Se r > 1, então a série diverge. Se r = 1, o teste de razão é inconclusivo e as séries podem convergir.

Teste de raiz

Este teste também é conhecido como o n-ésimo teste de raiz ou critério de Cauchy.

Seja:

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

Onde $\limsup$ denota o limite superior (possivelmente $\infty$ ; se o limite existe, é o mesmo valor).

Se r <1, a série converge. Se r > 1, então a série diverge. Se r = 1, o teste de raiz é inconclusivo e a série pode convergir ou divergir.

O teste de raiz é mais forte do que o teste de razão uma vez que sempre que o teste de razão determina a convergência ou divergência de uma série infinita, o teste de raiz também, mas não o contrário.

Por exemplo, para a série

1 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,125 + 0,125 + ... = 4

Vemos que a convergência decorre do teste de raiz, mas não do teste de razão.

Teste da integral

A série pode ser comparada a uma integral para estabelecer convergência ou divergência. Considerando $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ sendo uma função não negativa e monotonicamente decrescente, de modo que $f(n)=a_{n}$ .

E se

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$

então a série converge. De maneira análoga, se a integral diverge, a série também diverge.

Em outras palavras, a série ${a_{n}}$ converge se e somente se a integral convergir.

Teste da comparação direta

Se a série $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ é uma série absolutamente convergente e $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ para n suficientemente grande, então a série $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge absolutamente.

Teste da comparação no limite

Se $\{a_{n}\},\{b_{n}\}>0$, (ou seja, cada elemento das duas sequências é positivo) e o limite $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ existe, é finito e diferente de zero, então $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge se e somente se $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ diverge.

Teste de condensação de Cauchy

Seja $\left\{a_{n}\right\}$ uma sequência positiva não crescente. Então a soma $A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge se e somente se a soma $A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$ converge. Além disso, se eles convergirem, então $A\leq A^{*}\leq 2A$ é válida.

Teste de Abel

Suponha que as seguintes afirmações sejam verdadeiras:

1. $\sum a_{n}$ é uma série convergente,
2. $\left\{b_{n}\right\}$ é uma sequência monotônica, e
3. $\left\{b_{n}\right\}$ é limitado.

Então $\sum a_{n}b_{n}$ também é convergente.

Teste da série alternada

Esse teste também é conhecido como o critério de Leibniz.

Suponha que os seguintes postulados:

1. $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ ,
2. para cada n, $a_{n+1}\leq a_{n}$

Então $\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$ e $\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}$ são séries convergentes.

Notas

• Para alguns tipos específicos de séries, existem testes de convergência mais especializados e adequados, como por exemplo, para as séries de Fourier, existe o teste de Dini .

Exemplos

Considere a série

$(*)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.$

O teste de condensação de Cauchy implica que (*) é finitamente convergente se

$(**)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }$

é finitamente convergente. Uma vez que

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}$

(**) é uma série geométrica com razão $2^{(1-\alpha )}$ . (**) é finitamente convergente se sua proporção for menor que um (a saber $\alpha >1$ ) Assim, (*) é finitamente convergente se e somente se $\alpha >1$ .

Convergência de produtos

Embora a maioria dos testes lide com a convergência de séries infinitas, eles também podem ser usados para mostrar a convergência ou divergência de produtos infinitos. Isso pode ser alcançado usando o seguinte teorema: Considere $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ como uma sequência de números positivos. Então o produto infinito $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ converge se e somente se a série $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge. Da mesma forma, se $0<a_{n}<1$ é válida então $\prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})$ aproxima-se de um limite diferente de zero se e somente se a série $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge.

Isso pode ser provado tomando o logaritmo do produto e usando o teste de comparação no limite.

Notas

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Convergence tests», especificamente desta versão.

Leitura adicional

• Leithold, Louis (1972). The Calculus, with Analytic Geometry. Harper & Row 2nd ed. New York: [s.n.] pp. 655–737. ISBN 0-06-043959-9