Traço parcial

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em álgebra linear e análise funcional o traço parcial é uma generalização do traço, onde o traço é uma grandeza escalar e o traço parcial é um operador funcional.

Definição[editar | editar código-fonte]

Suponha que V e W são espaços vetoriais de dimensões finitas sobre um corpo, com m e n dimensões, respectivamente. Para qualquer espaço A assuma que indique o espaço dos operadores lineares em A. O traço parcial sobre W, , é um mapeamento de

isto é definido da seguinte forma: suponha que

e

sejam as bases para V e W respectivamente; então T possui uma matriz de representação

relativa à base

de

.

agora para os índices k e i no alcance , considere a soma

Isto nos fornece a matriz . O operador de associação linear em V é independente da escolha das bases e é por definição o traço parcial.

Definição invariante[editar | editar código-fonte]

O operador do traço parcial pode ser definido de forma invariante (ou seja, sem dependente de uma base) como segue: isto é o operador linear único

de forma que

Desta definição abstrata, obtém-se as seguintes propriedades:

Traços parciais para operadores no espaço de Hilbert[editar | editar código-fonte]

O traço parcial generaliza para operadores no espaço de Hilbert com infinitas dimensões. Suponha que V e W sejam espaços de Hilbert, e que

seja uma base ortogonal para W. Então existe um isomorfismo isométrico

Sob esta decomposição, qualquer operador pode ser considerado como uma matriz infinita de operadores em V

onde .

Agora suponha que T seja um operador não negativo. Neste caso, todas as diagonais da matriz são operadores não negativos em V. Se a soma

converge na topologia de operador forte de , isto é independente da base escolhida de W. O traço parcial é definido como sendo seu operador. O traço parcial do operador autoadjunto é definido se e somente se o traço parcial das partes positivas e negativas são definidas.

Traço parcial e integral invariante[editar | editar código-fonte]

No caso de espaços de Hilbert com finitas dimensões, existe uma forma útil de buscar o traço parcial e envolve integral no que diz respeito a uma medida de Haar devidamente normalizada μ sobre o grupo unitário de W.

Teorema[editar | editar código-fonte]

Suponha que V e W sejam espaços de Hilbert com finitas dimensões. Então

comuta com todos os operadores da forma e daqui é de forma unicamente . O operador R é o traço parcial de T.

Traço parcial como uma operação quântica[editar | editar código-fonte]

O traço parcial pode ser visto como uma operação quântica. Considere um sistema na mecânica quântica em que o estado do espaço é o produto do tensor dos espaços de Hilbert. Um estado misto é descrito por uma matriz densidade ρ, que é um operador de classe tracial não negativa de traço 1 no produto do tensor O traço parcial de ρ com respeito ao sistema B, indicado por , é chamado de estado reduzido de ρ no sistema A

Para demonstrar que isto é de fato uma forma razoável para atribuir um estado ρ em um subsistema A, suponha que M seja um observável no subsistema A, então o observável correspondente no sistema composto é . Entretanto se escolhermos para definir um estado reduzido , deve existir uma medição estatística consistente. O valor esperado de M após o subsistema A é preparado em e quando o sistema composto é preparado em ρ deve ser identico, isto é

Vemos que isto é satisfeito se é definido como acima através de traços parciais.

Suponha que seja o espaço de Banach de operadores de classe tracial no espaço de Hilbert H. Isto pode ser verificado que o traço pacial, visto como um mapeamento

é sempre positivo e preservador do traço.

O mapeamento do traço parcial como dado acima induz a um duplo mapeamento entre os operadores limitados da C*-álgebra em e dado por

mapeia observáveis para observáveis e é a representação de Heisenberg de .

Comparação com a mecânica clássica[editar | editar código-fonte]

Suponha que ao invés de sistemas na mecânica quântica, os dois sistemas A e B são sistemas na mecânica clássica. O espaço dos observáveis para cada sistema são, então, C*-álgebras abelianas. Então são da forma e respectivamente para espaços compactos X e Y. Estes estados de sistemas compostos são

Um estado num sistema composto é um elemento positivo ρ da dupla de , que segundo teorema da representação de Riesz corresponde a uma medição regular de Borel em . Então o traço parcial é o equivalente da mecânica quântica desta operação.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]