Usuário(a):Cesar Pagan/Física Atômica

Física atômica é a parte da Física que estuda a estrutura eletrônica do átomo, em especial seus níveis de energia e as transições atômicas.

História

Dois exemplos de gradiente. Em cada caso o valor da função é indicado pela escala de cinzas.

A espectroscopia atômica foi uma ferramenta de investigação fundamental no desenvolvimento da física moderna. Basicamente, a espectroscopia utiliza a radiação eletromagnética emitida ou absorvida nas transições entre diferentes níveis de energia para obter informações sobre átomos e moléculas. A separação do espectro solar pela passagem da luz através de uma fenda e de um prisma é relatada por Isaac Newton em seus estudos ainda no século XVII. As primeiras observações das linhas espectrais ocorreram quase um século mais tarde, quando Thomas Melvill observou as linhas do sódio no amarelo. No início do século XIX linhas de absorção foram relatadas por Wollaston e por Frauhover, com uma década de separação forneceram a informação básica para que Robert Bunsen e Gustav Kirchhoff dessem início a área de Astrofícica em 1859. Mais tarde, Anders Ångström realizou uma série de medidas precisas dos comprimentos de onda do hidrogênio, utilizado as unidades que hoje levam seu nome. Conhecendo o trabalho de Ångström, Johann J. Balmer estabeleceu relações matemáticas entre as linhas do espectro do hidrogênio na faixa do visível, prevendo com sucesso a existência das linhas no infravermelho e no ultravioleta. As informações experimentais contribuíram com o desenvolvimento da mecânica quântica, cuja teoria possibilitou explicar as linhas observadas. O modelo primitivo de Bohr permitiu chegar até a estrutura fina do átomo de hidrogênio, mas um modelo adequado dos átomos multieletrônicos só foi possível a partir da formulação da equação de Schrödinger e das contribuições de De Broglie, Pauli, Hartree, Dirac, Fock e tantos outros, principalmente entre os anos de 1925 e 1933. A álgebra de Racah , , , para o momento angular desenvolvida na década de 1940 permitiu a descrição das estruturas complexas formadas pela associação dos orbitais eletrônicos que compõe a função de onda dos átomos multieletrônicos. O surgimento dos computadores digitais permitiu a realização de cálculos pelo método auto-consistente e a partir da década de 1960 vários códigos foram desenvolvidos para esta finalidade por autores como Ronald Cowan e Charlote Froese Fisher , permitindo cálculos multiconfiguracionais de estrutura atômica. O cálculo da estrutura atômica atualmente é feito a partir da solução das equações de Schrödinger pelo método Hartree-Fock em geral em uma aproximação multiconfiguracional, ou seja, consideramos que a base ortogonal na qual escrevemos a função de onda verdadeira do átomo é composta por funções de onda pertencentes a várias configurações de mesma paridade e valor do momento angular total. Esta abordagem é bastante difundida e largamente utilizada por grupos de pesquisa do Brasil , O conhecimento da estrutura atômica está na essência do entendimento da matéria e dos estudos das propriedades elétricas dos materiais, assunto da engenharia elétrica. A tecnologia de construção dos lasers, as medidas realizadas em astrofísica, as análises de materiais em biologia, mineralogia e metalurgia, os estudos sobre composição e poluição atmosférica, as técnicas de diagnóstico a partir da luz para inferir informações como a composição, dinâmica e temperatura em descargas gasosas em lâmpadas ou em reatores de plasma e em tantas outras aplicações tecnológicas são uma pequena parte da extensa lista dos usos da teoria da estrutura e do espectro atômico em engenharia e física.

O vector gradiente ou simplesmente gradiente de uma campo escalar $f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ é dado por:

${\mbox{grad}}\,f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},\cdots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right\rangle$

Em notação de soma de Euler temos que:

${\mbox{grad}}\,f=\sum ^{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\hat {e}}_{i}$

Já na notação de soma de Einstein para o campo escalar φ:

${\mbox{grad}}\,\varphi =\partial _{i}\varphi \cdot {\hat {e}}_{i}$

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:

$\nabla f={\mbox{grad}}\,f$

O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.

Exemplo

Para a função $f\!\left(x,y,z\right)=3x+5y^{2}-\sin z$ temos $\nabla f=\left\langle 3,10y,-\cos z\right\rangle$ para todo $\left(x,y,z\right)$.

Expressões

Para todo campo escalar $f$ diferenciável em função do espaço cartesiano ${\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle$ temos que:

$\nabla f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right\rangle$

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}$

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

$\nabla f={\frac {df}{dx}}$

Propriedades

Linearidade

O gradiente é linear:

$\nabla \left(\alpha f+\beta g\right)=\alpha \nabla f+\beta \nabla g\qquad \left(\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ^{2}\right)$

Onde $\mathbb {F}$ é um corpo constante.

Lei de Leibniz

O gradiente segue a Lei de Leibniz na multiplicação:

$\nabla \left(f\cdot g\right)=f\nabla g+g\nabla f$

E na divisão:

$\nabla \left(f/g\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g^{2}}}\qquad \left(g\neq 0\right)$

Ortogonalidade às curvas de nível

O vector gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja $f(x\,,y)$ uma função definida em $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ e diferenciável em todo seu domínio.

Seja o conjunto $C:\{(x,y)\in D|f(x,y)=k\}$ onde x e y são funções de um parâmetro t tal que $x(0)=x_{0}\,,y(0)=y_{0}$.

Então, temos:

$f(x(t)\,,y(t))=k$ (diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)

${\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}=0$

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em $(x_{0}\,,y_{0})$, logo os dois são perpendiculares entre si.

Teorema do gradiente

O gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:

$\Delta f=f_{Q}-f_{P}=\int _{\gamma _{P}}^{\gamma _{Q}}\nabla f\cdot {\vec {d\gamma }}$

Derivada direcional

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar ao longo de um vector (no caso abaixo, ${\vec {u}}$).

$\forall {\vec {u}}\quad \nabla \!_{\vec {u}}\,f={\vec {u}}\cdot \nabla f$

Sistemas de coordenadas

O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:

Coordenadas cartesianas

$\nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {e}}_{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {e}}_{y}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}$

Para coordenadas espaciais x, y e z.

Coordenadas cilíndricas circulares

$\nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {e}}_{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}$

Onde $\rho$ representa a distância ao eixo z, $\phi$ é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.

Coordenadas esféricas

$\nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {e}}_{\theta }+{\frac {1}{rsen\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {e}}_{\phi }$

Onde $r$ representa a distância à origem, $\theta$ é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e $\phi$ é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.

Gradientes de tensão

Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.

O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa freqüência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

Referências

• Cálculo, George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).

Ver também

• Teorema do gradiente
• Divergente
• Rotacional
• Degradê (Arte)
• Laplaciano