Distribuição de Cauchy

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A distribuição de Cauchy-Lorentz, assim chamada em homenagem a Augustin Cauchy e Hendrik Lorentz, é a distribuição de probabilidades dada pela função densidade de probabilidade

f(x) = \frac {1} {\pi (1 + x^2)}\,

A sua média não é definida, logo ela também não tem desvio padrão. O seu segundo cumulante é infinito.

A distribuição de Cauchy pode ser simulada como a razão entre duas normais independentes.

Nome[editar | editar código-fonte]

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Em probabilidade e estatística, esta distribuição é conhecida como a distribuição de Cauchy, enquanto que entre físicos, ela é conhecida como a distribuição de Lorentz ou como a distribuição (não-relativística) de Breit-Wigner (dos físicos Gregory Breit e Eugene Wigner).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Se X1, …, Xn forem variáveis aleatórias i.i.d. (independentes e identicamente distribuídas), cada uma com a distribuição de Cauchy. então a sua média aritmética (X1 + … + Xn)/n tem também a distribuição de Cauchy. Demonstra-se isso calculando-se a função característica da média:

\phi_{\overline{X}}(t) = \mathrm{E}\left(e^{i\,\overline{X}\,t}\right) \,\!

Em que \overline{X} é a média. Este é um contra-exemplo para o Teorema Central do Limite, exibindo porque a hipótese da variância finita das parcelas deve ser mantida. Este também é um exemplo de uma versão generalizada do Teorema Central do Limite, mostrando propriedades das distribuições estáveis, do qual a Cauchy e a distribuição normal são casos particulares.

versão Multivariada k-dimensional[editar | editar código-fonte]

É fácil notar que a versão multivariada k-dimensional desta densidade é equivalente a uma densidade de Stundent Multivariada não-central quando temos somente 1 grau de liberdade:

\begin{align}
f( {\mathbf x} ; {\mathbf\mu},{\mathbf\Sigma})&= \frac{\Gamma\left[(1+k)/2\right]}{\Gamma(1/2)\pi^{k/2}\left|{\mathbf\Sigma}\right|^{1/2}\left[1+({\mathbf x}-{\mathbf\mu})^T{\mathbf\Sigma}^{-1}({\mathbf x}-{\mathbf\mu})\right]^{(1+k)/2}}
\end{align}

onde {\mathbf\Sigma} e {\mathbf\mu} são uma matriz de covariância e um vetor de locação, respectivamente, parâmetros da densidade.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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