Espaço sequencialmente compacto

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Em topologia, um espaço topológico diz-se sequencialmente compacto se qualquer sucessão nesse espaço possui uma subsucessão convergente.

O Teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que um subconjunto de \R^n é sequencialmente compacto se e só se for fechado e limitado, o que juntamentente com o teorema de Heine-Borel significa que um subconjunto de \R^n é sequencialmente compacto se e só se for compacto.

Em espaços topológicos genéricos, os conceitos de compacidade e compacidade sequencial não são equivalentes. Por exemplo, o espaço de todos os ordinais numeráveis, munido com a topologia da ordem é sequencialmente compacto, mas não compacto. Por outro lado, o espaço das funções de [0,1] em [0,1], com a topologia produto, é compacto, mas não sequencialmente compacto.

Num espaço métrico, por outro lado, é fácil ver que compacto e sequencialmente compacto são equivalentes.

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