Espaço compacto

Em matemática, mais especificamente em topologia geral, o conceito de compacidade é uma extensão topológica das ideias de finitude e limitação. O início do estudo de espaços compactos se deu no final do século XIX, pelas mãos de Émile Borel e Henri Lebesgue e as observações acerca de intervalos fechados e limitados da reta real. Com o advento de novas classes de espaços topológicos (espaços de funções, espaços definidos em termos de vizinhanças e espaços métricos) a noção de compacidade modificou-se para acompanhar as generalizações; passando por sequencialmente compacto, enumeravelmente compacto (Riesz - 1908, Vietoris - 1912, Janiszewski - 1913, Kuratowski, Sierpiński e Saks - 1921) e finalmente chegando na definição empregada hoje (Alexandrof e Urysohn - 1923).

Definição e Equivalências

Um recobrimento para um conjunto $X$ é uma coleção ${\mathcal {R}}$ de subconjuntos de $X$ tal que $\bigcup {\mathcal {R}}=X$. Um subrecobrimento de ${\mathcal {R}}$ é uma coleção ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {R}}$ que também é um recobrimento de $X$, i.e. $\bigcup {\mathcal {S}}=X$.

Diz-se que um espaço topológico $X$ é compacto se possuir a propriedade de Hausdorff e qualquer recobrimento por abertos de $X$ admitir um subrecobrimento finito. O leitor deve estar atento que a escola americana define espaço compacto como espaços em que todo recobrimento por abertos (do espaço em questão) admite subrecobrimento finito, o que é chamado de quase-compacto. A definição usando a Espaço Hausdorff é uma característica das escolas francesa, polonesa e russa.

Uma família ${\mathcal {F}}$ de subconjuntos de um conjunto $X$ possui a propriedade da intersecção finita (abreviadamente, p.i.f.) se, para qualquer ${\mathcal {F}}_{0}\subseteq {\mathcal {F}}$ finita, verificar $\bigcap {\mathcal {F}}_{0}\neq \emptyset$. É passivo de verificação que, um espaço topológico $X$ é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer família de fechados de $X$ com a p.i.f. possuir intersecção não vazia.

Uma base para um espaço topológico $X$ é uma coleção de abertos ${\mathcal {A}}$ de $X$ tal que, para qualquer aberto $U\subseteq X$, existe ${\mathcal {B}}_{U}\subseteq {\mathcal {B}}$ tal que $U=\bigcup {\mathcal {B}}_{U}$. Uma subbase para $X$ é uma coleção ${\mathcal {S}}$ não-vazia de abertos desse espaço tal que

$\left\{\bigcap {\mathcal {S}}_{0}:{\mathcal {S}}_{0}\subseteq {\mathcal {S}}{\text{ e }}{\mathcal {S}}_{0}{\text{ é finita e não-vazia}}\right\}$

é uma base de $X$. É um resultado devido a James Waddell Alexander II que um espaço topológico $X$ é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer recobrimento de $X$ por abertos de uma subbase desse espaço admitir um subrecobrimento finito.

Se $X$ é um espaço topológico, diz-se que um ponto $x\in X$ é um ponto de acumulação total de um subconjunto $A\subseteq X$ se, dada qualquer vizinhança $U\subseteq X$ de $x$, $|A\cap U|=|A|$. É um resultado devido a Vietoris, Kuratowski, Sierpinski, Alexandroff e Urysohn que as seguintes afirmações são equivalentes

• $X$ é compacto;
• Qualquer subconjunto infinito de $X$ possui um ponto de acumulação completo;
• Dada qualquer sequência transfinita $\subseteq$-decrescente $\langle F_{\lambda }\rangle _{\lambda <\alpha }$ de fechados não-vazios de $X$, a intersecção $\bigcap _{\lambda <\alpha }F_{\lambda }$ é não-vazia.

É um resultado devido a Kuratowski, Mrówka e Bourbaki que as seguintes afirmações, acerca do espaço $X$, são equivalentes:

• X é (quase-)compacto;
• Para qualquer espaço $Y$ a projeção $p:X\times Y\to Y$ é fechada;
• Para qualquer espaço normal $Y$ a projeção $p:X\times Y\to Y$ é fechada.

Em termos de convergência em um espaço Hausdorff $X$, é possível observar a equivalência das seguintes afirmações:

• $X$ é (quase-)compacto;
• Qualquer filtro em $X$ admitir um ponto de acumulação;
• Qualquer rede em $X$ admitir um ponto de acumulação.

Exemplos

• Qualquer espaço finito é quase-compacto;
• Qualquer espaço carregando topologia cofinita é quase-compacto.
• A topologia de ordem direita e a topologia de ordem esquerda em um conjunto totalmente ordenado e limitado são (quase-)compactas.
• Qualquer conjunto fechado e limitado de um espaço euclididano ($\mathbb {R} ^{n}$) é compacto.
• Qualquer compacto da Reta de Sorgenfrey é enumerável.

Propriedades

• Qualquer fechado em espaço quase-compacto é quase-compacto;
• Qualquer compacto é um espaço normal;
• Todo subspaço compacto de um espaço Hausdorff é fechado;
• Uma imagem contínua de espaços compactos é compacto.
• Toda bijeção contínua de um espaço compacto em um espaço Hausdorff é um homeomorfismo;
• A união finita de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto.
• (Teorema de Tychonoff) O produto qualquer de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto.
• Toda função contínua de $\mathbb {R} ^{n}$ em $\mathbb {R} ^{m}$ definida num compacto é uniformemente contínua.

Ver também

• Espaço sequencialmente compacto
• Espaço enumeravelmente compacto
• Paracompacidade
• Espaço de Lindelöf
• Compactificação

Bibliografia

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Ligações externas

• Countably compact, PlanetMath.org.
• Sundström, Manya Raman (2010). «A pedagogical history of compactness». arXiv:1006.4131v1 [math.HO]