Evolvente

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Na geometria diferencial de curvas, uma evolvente é uma curva obtida de outra dada curva anexando a esta um cordão tenso imaginário e traçando um ponto da corda ao enrolá-la na curva; ou, ao contrário, ao desenrolá-la. É uma rolete na qual a curva rolante é uma linha reta contendo o ponto gerador. Por exemplo, uma evolvente é aproximadamente o caminho seguido por um espirobol quando a corda de ligação é enrolada no poste. Se o poste tem seção transversal circular, então a curva descrita pela bola é uma evolvente do círculo.

Alternativamente, outra forma de construir a evolvente de uma curva é substituir a corda esticada por um segmento de reta que é tangente à curva em uma extremidade, enquanto a outra extremidade traça a evolvente. O comprimento do segmento de reta é alterado pelo mesmo comprimento de arco que é percorrido sobre a curva quando o ponto tangente move-se ao longo da curva.

A evoluta de uma evolvente é a curva original, subtraidas as porções de curvatura zero ou indefinida. Ver as ilustrações evoluta e evolvente.

Se a função r:\mathbb R\to\mathbb R^n é uma parametrização natural da curva (i.e. |r^\prime(s)|=1 para todo s), então :t\mapsto r(t)-tr^\prime(t) parametriza a evolvente.

Curva paramétrica[editar | editar código-fonte]

As equações de uma curva evolvente para uma função parametricamente definida ( x(t) , y(t) ) são:

X[x,y]=x-\frac{x'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}

Y[x,y]=y-\frac{y'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Involut cir.jpg
A evolvente de um círculo
(reversa, desenrolando)
A evolvente de uma catenária, uma tractriz

Evolvente de um círculo[editar | editar código-fonte]

A evolvente de um círculo tem uma forma semelhante a uma espiral de Arquimedes.

x = a \left( cos\ t + t\ sin\ t \right)
y = a \left( sin\ t - t\ cos\ t \right)

onde a é o raio do círculo e t é um parâmetro

r=a\sec\alpha
\theta = \tan\alpha - \alpha

onde a é o raio do círculo e \alpha é um parâmetro.

A evolvente de um círculo pode ser dada na forma

r = a \sqrt{1+t^2}
\theta = \arctan \frac{\sin t - t \cos t}{\cos t + t \sin t}.

Leonhard Euler propos o uso da evolvente de um círculo para a forma dos dentes de uma engrenagem, a forma que é atualmente usada na maioria delas, denominadas engrenagens evolventes.

Evolvente de uma catenária[editar | editar código-fonte]

A evolvente de uma catenária pelo seu vértice é uma tractriz. Em coordenadas cartesianas a evolvente é dada por

x=t-\mathrm{tanh}(t)

y=\mathrm{sech}(t)

onde t é um parâmetro e sech é a secante hiperbólica (1/cosh(x)).

Derivada

Com r(s)=(\sinh^{-1}(s),\cosh(\sinh^{-1}(s)))

temos r^\prime(s)=(1,s)/\sqrt{1+s^2}

e r(t)-tr^\prime(t)=(\sinh^{-1}(t)-t/\sqrt{1+t^2},1/\sqrt{1+t^2}).

Substituindo t=\sqrt{1-y^2}/y

resulta ({\rm sech}^{-1}(y)-\sqrt{1-y^2},y).

Evolvente de uma cicloide[editar | editar código-fonte]

Uma evolvente de uma cicloide é uma cicloide congruente. Em coordenadas cartesianas a curva é dada por

x=r(t-\sin(t))
y=r(1-\cos(t))

onde t é o ângulo e r o raio.

Aplicação[editar | editar código-fonte]

A evolvente possui algumas propriedades que a tornam fundamental para a indústria de engrenagens: se duas engrenagens engatadas possuem dentes com perfil evolvente, elas formam um sistema de engrenagens evolventes. Suas taxas de rotação relativas são constantes enquanto os dentes estão engrenados, e o contato ocorre sempre ao longo de um segmento de reta, denominado linha de ação. Com dentes de outras formas as velocidades de rotação e as forças transmitidas são intermitentes, ocasionando portanto vibrações, ruídos e desgaste excessivo. Por esta razão quase a totaalidade das engrenagens atualmente produzidas possuem dentes com a forma evolvente.

A evolvente de um círculo é também uma forma fundamental em compressores, pois um compressor espiral pode ser construído baseado nesta forma. Compressores espirais fazem menos barulho que compressores convencionais, sendo também mais eficientes.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]