Paralelogramo

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Um paralelogramo.

Um paralelogramo é um polígono de quatro lados (quadrilátero) cujos lados opostos são paralelos. Por consequência, tem ângulos opostos e lados opostos congruentes.[1] [2]

Definição[editar | editar código-fonte]

Paralelogramo ABCD e suas diagonais \overline{AC} e \overline{DE}.

Um paralelogramo é um quadrilátero plano convexo cujos lados opostos são paralelos.

Elementos[editar | editar código-fonte]

Um paralelogramo ABCD tem:[1] [2]

  • quatro lados - os segmentos de reta \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD} e \overline{DA};
  • quatro vértices - os pontos A, B, C e D;
  • quatro ângulos internos - os ângulos B\hat{A}D, A\hat{B}C, B\hat{C}D, C\hat{D}A;
  • quatro ângulos externos - os respectivos ângulos suplementares dos ângulos internos;
  • duas diagonais - os segmentos de reta \overline{AC} e \overline{BD}.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Um paralelogramo possui:[1] [2]

  1. lados opostos congruentes;
  2. ângulos opostos congruentes;
  3. suas diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios;
  4. ângulos consecutivos suplementares;
  5. a soma dos ângulos internos igual a 360^\circ;
  6. a soma dos ângulos externos igual a 360^\circ;

Observamos que todo quadrilátero convexo plano que possui uma das propriedades 1., 2. ou 3. é um paralelogramo. Existe, portanto, uma reciprocidade em relação a cada uma destas propriedades com a definição de paralelogramo dada acima.

Além disso, notamos que qualquer diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.

Demonstrações das propriedades[1] [editar | editar código-fonte]

Paralelogramo: ângulos e lados opostos congruentes.

1. Lados opostos congruentes[editar | editar código-fonte]

Dado o paralelogramo ABCD, mostraremos que \overline{AB} \equiv \overline{DC} e  \overline{AD} \equiv \overline{BC}. Para tanto, traçamos a diagonal \overline{AC}. Como \overline{AB} / \! / \overline{DC} e \overline{AD} /\!/ \overline{BC}, tomando \overleftrightarrow{AC} como transversal temos que D\hat{A}C \equiv B\hat{C}A (alternos internos) e D\hat{C}A \equiv B\hat{A}C (alternos internos). Assim, pelo caso de congruência de triângulos ângulo, lado, ângulo (ALA) temos:

\triangle ADC\equiv \triangle CBA \Rightarrow \left \{\begin{matrix} D\hat{A}C \equiv B\hat{C}A \\ \overline{AC} \equiv \overline{CA} \\ D\hat{C}A \equiv B\hat{A}C \end{matrix} \right. \Rightarrow \overline{AB} \equiv \overline{DC} \text{ e } \overline{AD} \equiv \overline{BC}.
Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero ABCD convexo plano, cujos lados opostos sejam congruentes é um paralelogramo. Com efeito, pela congruência de triângulos lado-lado-lado (LLL), temos que \overline{AB}\equiv \overline{CB} e \overline{AD}\equiv\overline{BC}, implica \triangle ADC \equiv \triangle ABC. Logo, são congruentes os ângulos B\hat{A}C e A\hat{C}D, o que implica \overline{AB}\parallel \overline{CD}. Um raciocínio análogo mostra que \overline{AD}\parallel \overline{BC}. Ou seja, lados opostos congruentes implica em lados opostos paralelos. Isso conclui esta demonstração.

2. Ângulos opostos congruentes[editar | editar código-fonte]

Dado o paralelogramo ABCD, mostraremos que B\hat{A}D \equiv B\hat{C}D e A\hat{B}C \equiv A\hat{D}C. A partir da demostração anterior temos que:

(1)\quad D\hat{A}C \equiv B\hat{C}A

e

(2) \quad D\hat{C}A \equiv B\hat{A}C .

Como B\hat{A}D =B\hat{A}C+D\hat{A}C então substituindo (2) em (3) temos:

(3)\quad B\hat{A}D =D\hat{C}A+D\hat{A}C.

E, temos ainda B\hat{C}D =B\hat{C}A+D\hat{C}A, que usando (1) fornece:

(4)\quad B\hat{C}D =D\hat{A}C+D\hat{C}A.

De (3) e (4), concluímos que B\hat{A}D \equiv B\hat{C}D. Para o caso A\hat{B}C \equiv A\hat{D}C o raciocínio é análogo.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero ABCD convexo plano, cujos ângulos opostos são congruentes é um paralelogramo. Com efeito, temos B\hat{A}D \equiv B\hat{C}D e A\hat{D}C\equiv A\hat{B}C, logo B\hat{A}D + A\hat{D}C = A\hat{B}C + B\hat{C}D. Como B\hat{A}D + A\hat{D}C + A\hat{B}C + B\hat{C}D = 360^\circ, segue que B\hat{A}D + A\hat{D}C = 180^\circ. Portanto, \overline{AB}\parallel \overline{CD}. Um raciocínio análogo prova que \overline{AD}\parallel \overline{BC}. Isso completa a prova.

3. Diagonais interseptam-se nos seus respectivos pontos médios[editar | editar código-fonte]

Figura para a demonstração da propriedade do paralelogramo.
Diagonais se intersectam no ponto médio.

Seja ABCD um paralelogramo e consideremos suas diagonais \overline{AC} e \overline{BD}. Denotamos por E a interseção destas diagonais. Como \overleftrightarrow{AB} e \overleftrightarrow{CD} são paralelas, temos que os ângulos C\hat{D}E e A\hat{B}E são congruentes (ângulos alternos internos). Pelo mesmo motivo, são congruentes os ângulos B\hat{A}E e D\hat{C}E. Como \overline{AB} e \overline{CD} são congruentes, pela congruência ângulo-lado-ângulo (ALA) de triângulos, temos que:

\triangle CDE\equiv \triangle ABE \Rightarrow \left \{\begin{matrix} C\hat{D}E \equiv A\hat{B}E \\ \overline{CD} \equiv \overline{AB} \\ D\hat{C}E \equiv B\hat{A}E \end{matrix} \right. \Rightarrow \overline{AE} \equiv \overline{CE} \text{ e } \overline{DE} \equiv \overline{EB}.

Assim temos que E é ponto médio de \overline{AC} e \overline{BD}, logo E é ponto médio e intersecção das diagonais.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero ABCD plano convexo, cujas diagonais interceptam-se nos seus pontos médios é um paralelogramo. Com efeito, seja E o ponto de interseção das diagonais \overline{AC} e \overline{BD}. Como \overline{AE}\equiv\overline{CE}, \overline{BE}\equiv\overline{DE} e A\hat{E}B \equiv C\hat{E}D, temos da congruência de triângulos lado-ângulo-lado (LAL) que \triangle ABE \equiv \triangle CDE. Donde seque que \overline{AB}\equiv\overline{CD}. Analogamente, vemos que \overline{AD}\equiv\overline{BC}. Agora, da recíproca da propriedade 1. (lados opostos congruentes), temos que os lados opostos são paralelos, como queríamos demonstrar.

4. Ângulos consecutivos suplementares[editar | editar código-fonte]

Demonstração da propriedade

Seja ABCD um paralelogramo. Mostraremos que os ângulos consecutivos C\hat{D}A e B\hat{A}D são suplementares. Com efeito, como \overleftrightarrow{AB} e \overleftrightarrow{CD} são paralelas e \overleftrightarrow{AD} é uma transversal, temos que C\hat{D}A \equiv B\hat{A}E (1) (ângulos correspondentes). Vemos, imediatamente, que B\hat{A}E e B\hat{A}D são suplementares, ou seja:

B\hat{A}E+B\hat{A}D=180^\circ (2)

e substituindo (1) em (2) temos:

C\hat{D}A+B\hat{A}D=180^\circ

como queríamos demonstrar. As demonstrações para os demais ângulos consecutivos são análogas.

5. Soma dos ângulos internos[editar | editar código-fonte]

Segue imediatamente da propriedade 4. que a soma dos ângulos internos de um paralelogramo é 360^\circ.

6. Soma dos ângulos externos[editar | editar código-fonte]

Uma vez que em um paralelogramo os lados opostos são paralelos e os ângulos internos consecutivos são suplementares, temos que os ângulos externos consecutivos também são suplementares. Como são quatro, temos que a soma dos ângulos externos é 360^\circ.

Perímetro[editar | editar código-fonte]

Denotando por a e b os comprimentos de dois de seus lados não-paralelos, seu perímetro pode ser calculado através da fórmula abaixo:

P = 2(a + b)

Área[editar | editar código-fonte]

Paralelogramo de base b e altura h.

A área de um paralelogramo é dada por:[1]

A = b \cdot h

onde, b é o comprimento de qualquer um de seus lados e h é a altura relativa a este lado, i.e. o comprimento do segmento de reta perpendicular que liga este lado ao seu oposto.

Equivalentemente, temos:[2]

A = a \cdot b \cdot \text{sen}\, \alpha

onde, a e b são os comprimentos de dois lados adjacentes e \alpha é o ângulo definido por estes lados.

Ou, ainda, a área pode ser calculado por:

A = \frac{d_1 \cdot d_2 \cdot \mathrm{sen}\, \alpha}{2}
Paralelogramo ABCD, sendo E o ponto de interseção de suas diagonais \overline{AC} e \overline{DE}.

onde, d_1 e d_2 são os comprimentos das diagonais do paralelogramo e \alpha é um dos ângulos definido pela interseção das diagonais. Com efeito, seja ABCD um paralelogramo (veja figura ao lado). Suas diagonais se interceptam em um ponto E determinando quatro triângulos AEB, BEC, CED, DEA. Do fato de que lados opostos de um paralelogramo serem congruentes e de que E é ponto médio de ambas diagonais, temos que os triângulos AEB e CED são congruentes, assim como os triângulos BEC e DEA. Notamos que a área do paralelogramo é a soma das áreas dos quatro triângulos. Ou seja, denotando por d_1 e d_2 os comprimentos das diagonais AC e DE, respectivamente, temos:

A = 2 \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \text{sen}\,\alpha + 2\frac{d_1 \cdot d_2}{2}\text{sen}\,(180^\circ - \alpha).

Aqui, \alpha é o menor ângulo definido pelas diagonais. Temos utilizado que a área de um triângulo FGH pode ser calculada por:[1]

A_{FGH} = \frac{|FG|\cdot |GH|}{2}\text{sen}\,F\hat{G}H.

Por fim, como \text{sen}\, \alpha = \text{sen}\, (180^\circ - \alpha), segue o resultado desejado.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Existem três paralelogramos especiais:

Referências

  1. a b c d e f Dolce, O. et al.. Fundamentos de Matemática Elementar Volume 9 - Geometria Plana. 9. ed. [S.l.]: Atual, 2013. ISBN 9788535716863.
  2. a b c d Bronshtein, I.N. et al.. Handbook of Mathematics. 5. ed. [S.l.]: Springer, 2007. ISBN 9783540721215.