Representação Adjunta (álgebra de Lie)

 Nota: Se procura a forma de representar os elementos do grupo como transformações lineares do grupo de álgebra de Lie, veja Representação adjunta (grupo de Lie).

Em matemática, o endomorfismo adjunto (ou ação adjunta} é um homomorfismo das álgebras de Lie que desempenha um papel fundamental no desenvolvimento da teoria das álgebras de Lie.

Dado um elemento $x$ de uma álgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$, define-se a ação adjunta de $x$ em ${\mathfrak {g}}$ como o mapa $\operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ com

$\operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]$

para todo $y$ em ${\mathfrak {g}}$.

Representação adjunta da álgebra

O conceito gera a representação adjunta de um grupo de Lie $\operatorname {Ad}$. Na verdade, $\operatorname {ad}$ é precisamente o diferencial de $\operatorname {Ad}$ no elemento identidade do grupo.

Seja ${\mathfrak {g}}$ uma álgebra de Lie sobre um campo de $k$. Então o mapa linear

$\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})$

dado por $x\mapsto \operatorname {ad} _{x}$ é uma representação de uma álgebra de Lie e é chamada de representação adjunta da álgebra.

Dentro $\operatorname {End} ({\mathfrak {g}})$, o colchete de Lie é, por definição, dado pelo comutador de dois operadores:

$[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]=\operatorname {ad} _{x}\circ \operatorname {ad} _{y}-\operatorname {ad} _{y}\circ \operatorname {ad} _{x}$

onde $\circ$ denota a composição de mapas lineares. Se ${\mathfrak {g}}$ é de dimensão finita, então $\operatorname {End} ({\mathfrak {g}})$ é isomorfo a ${\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$, a álgebra de Lie do grupo linear geral sobre o espaço vetorial ${\mathfrak {g}}$ e se uma base para ele é escolhido, a composição corresponde ao produto de matrizes.

Usando a definição acima do colchete de Lie, a identidade de Jacobi

$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$

assume a forma

$\left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)$

onde $x$, $y$, e $z$ são elementos arbitrários de ${\mathfrak {g}}$.

Constantes de estrutura

Os elementos explícitos da matriz da representação adjunta são dados pelas constantes de estrutura da álgebra. Ou seja, deixe {eⁱ} ser um conjunto de vetores de base para a álgebra, com

$[e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.$

Então os elementos da matriz para ${\operatorname {ad} _{e^{i}}}$ são dados por

${\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}.$

Assim, por exemplo, a representação adjunta de SU(2) é o representante de definição de SO(3).