Grupo fundamental

O grupo fundamental de um toro é gerado pelas duas curvas a e b.

O grupo fundamental é o primeiro dos grupos de homotopia. Este grupo mede a conectividade de um espaço topológico. Um espaço topológico com grupo fundamental trivial diz-se simplesmente conexo.

Definição

Seja $X\,$ um espaço topológico e $x\in X$ um ponto. O grupo fundamental de $X\,$ baseado em $x\,$, representado por $\pi_1(X,x)\,$ é definido pelo conjunto das classes de homotopia dos lacetes centrados em $x\,$ onde impomos a operação de grupo induzida pela operação justaposição: se $\gamma\,$ e $\gamma'\,$ são lacetes centrados em $x\,$, e $[ \,\, ]\,$ indica a classe de homotopia, então $[\gamma][\gamma']=[\gamma*\gamma']\,$.

Toda curva $\gamma\,$ de $x\,$ a $y\,$ define um homomorfismo de grupos entre $\pi_1(X,x)\,$ e $\pi_1(X,y)\,$ por $\gamma_*[\alpha]=[\gamma^{-1}*\alpha*\gamma],$. Este homomorfismo é inversível e logo, é um isomorfismo de grupos. Assim, quando $X\,$ é conexo por arcos, o ponto base não tem qualquer influência no grupo fundamental, ou seja, $\pi_1(X,x)\,$ é isomorfo a $\pi_1(X,y)\,$, para quaisquer $x,y\in X$.

Aplicações contínuas e homomorfismos

Se $f:X\to Y\,$ é uma aplicação contínua tal que $f(x)=y\,$, então ela induz um homomorfismo $f_*\,$ entre $\pi_1(X,x)\,$ e $\pi_1(Y,y)\,$ dado por $f_*[\gamma]=[f\circ\gamma]\,$. Se esta aplicação for um homeomorfismo, então o homomorfismo de grupos induzido é um isomorfismo. Um fato importante é que $f_*([\gamma]*[\gamma']=[f\circ\gamma]*[f\circ\gamma']\,$.

Functorialidade

Seja $Top_*\,$ a categoria dos espaços topológicos com base em um ponto. Isto é, a categoria cujos objetos são duplas $(X,x)\,$, onde o primeiro elemento é um espaço topológico e o segundo um ponto pertencente a ele, e os morfismos $f:(X,x)\to (Y,y)\,$ são aplicações contínuas $f:X\to Y\,$ tal que $f(x)=y\,$. Então $\pi_1\,$ pode ser visto como um functor entre $Top_*\,$ e $Grp\,$. Isso implica entre outras coisas que dois espaços topológicos conexos por caminhos com grupos fundamentais diferentes não podem ser homeomorfos.