Fórmula de Viète

Na matemática, a fórmula de Viète é o seguinte produto infinito de radicais aninhados representando a constante matemática $π$ :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

A fórmula é denominada em memória de François Viète (1540–1603), que a publicou em 1593 em sua obra Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII.^[1]

Significância

Na época em que Viète publicou sua fórmula, métodos para aproximações de π com precisão (em princípio) arbitrária já eram conhecidos há muito tempo. O método de Viète pode ser interpretado como uma variação da ideia de Arquimedes de aproximar o comprimento de um círculo por umperímetro de um polígono de múltiplos lados,^[1] usado por Arquimedes para encontrar a aproximação

{\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}.

Contudo, ao publicar seu método como uma fórmula matemática, Viète formulou pela primeira vez um produto infinito conhecido na matemática,^[2]^[3] e o primeiro exemplo de uma fórmula explícita para o valor exato de $π$ .^[4]^[5] Como a primeira fórmula representando um número como resultado de um processo infinito em vez de um cálculo finito, a fórmula de Viète foi notada como o início da análise matemática^[6] e ainda mais amplamente como "o alvorecer da matemática moderna".^[7]

Usando sua fórmula, Viète calculou $π$ com uma precisão de nove dígitos decimais.^[8] No entanto, esta não foi a aproximação mais precisa para $π$ conhecida na época, pois o matemático persa Ghiyath al-Kashi havia calculado $π$ com uma precisão de nove dígitos sexagesimais e 16 dígitos decimais em 1424.^[7] Não muito tempo depois de Viète publicar sua fórmula, Ludolph van Ceulen usou um método estreitamente relacionado para calcular 35 dígitos de $π$ , publicados somente após a morte de van Ceulen em 1610.^[7]

Interpretação e convergência

A fórmula de Viète pode ser reescrita e entendida como uma expressão limite

\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }}

com $a n = \sqrt 2 + a n - 1$ , com condição inicial $a 1 = \sqrt 2$ .^[9] Viète fez seu trabalho muito antes de os conceitos de limites e provas rigorosas de convergência serem desenvolvidos em matemática; a primeira prova de que esse limite existe não foi dada até o trabalho de Ferdinand Rudio em 1891.^[1]^[10]

A taxa de convergência de um limite governa o número de termos que uma expressão necessita para atingir um dado número de dígitos de precisão. No caso da fórmula de Viète, existe uma relação linear entre o número de termos e o número de dígitos: o produto dos primeiros $n$ termos no limite fornecem uma expressão para $π$ que é precisa até aproximadamente $0.6 n$ digits.^[8]^[11] esta taxa de convergência compara-se muito favoravelmente com o produto de Wallis, uma fórmula de produto infinito posterior para $π$ . Embora Viète tenha usado esta fórmula para calcular $π$ com precisão de nove dígitos, uma versão acelerada de sua fórmula foi usada para calcular $π$ com centenas de milhares de dígitos.^[8]

Fórmulas relacionadas

A fórmula de Viète pode ser obtida como um caso especial de uma fórmula mais de um século depois por Leonhard Euler. Euler descobriu que

{\frac {\sin x}{x}}=\cos {\frac {x}{2}}\cdot \cos {\frac {x}{4}}\cdot \cos {\frac {x}{8}}\cdots

Substituindo $x = π 2$ , e expressando cada termo do produto como uma função de termos anteriores usando a fórmula para o ângulo metade

\cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}

resulta na fórmula de Viète.^[1]

É também possível obter da fórmula de Viète uma fórmula relacionada para $π$ que envolve ainda raízes quadradas aninhadas de dois, porém com apenas uma multiplicação:^[12]

\pi =\lim _{k\to \infty }2^{k}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}}} _{k\ \mathrm {square} \ \mathrm {roots} }

Atualmente diversas fórmulas similares a fórmula de Viète envolvendo radicais aninhados ou produtos infinitos de funções trigonométricas são conhecidas para $π$ , bem como para outras constantes tal como a proporção áurea.^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]^[19]

Dedução

Viète obteve sua fórmula comparando as áreas de polígonos regulars com $2 n$ e $2 n + 1$ lados inscritos em um círculo.^[1]^[6] O primeiro termo do produto, √22, é a relação das das áreas de um quadrado e um octógono, o segundo termo é a relação das áreas de um octógono e um hexadecágono, etc. Assim, o produto telescopica para fornecer a razão entre as áreas de um quadrado (o polígono inicial na sequência) e um círculo (o caso limite de um $2 n$ -gono). Alternativamente, os termos em um produto podem ser interpretados como a relação de perímetros da mesma sequência de polígonos, iniciando com a relação de perímetros de um dígono (o diâmetro de um círculo, contado duas vezes) e um quadrado, a relação de perímetros de um quadrado e um octógono, etc.^[20]

Outra dedução é possível, baseada sobre identidades trigonométricas e fórmula de Euler. Aplicando sucessivamente a fórmula para o ângulo duplo

\sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}},

pode ser provado por indução matemática que, para todo inteiro positivo $n$ ,

\sin x=2^{n}\sin {\frac {x}{2^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{i}}}\right).

O termo $2 n sin x 2 n$ converge para $x$ no limite quando $n$ converge para infinito, da qual segue a fórmula de Euler. A fórmula de Viète pode ser obtida desta fórmula pela substituição $x = π 2$ .^[4]

Referências

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Ligações externas

Viète's Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593) on Google Books. The formula is on the second half of p. 30.

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