Número inteiro

 Nota: Para tipo de dado, veja inteiro (tipo de dado).

Conjuntos de números

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ $\mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ Naturais $\mathbb {N}$ Inteiros $\mathbb {Z}$ Racionais $\mathbb {Q}$ Irracionais $\mathbb {I}$ (Este conjunto não faz parte dos conjuntos anteriores mas está contido em $\mathbb {R}$) Reais $\mathbb {R}$ Imaginários Complexos $\mathbb {C}$ Números hiper-reais Números hipercomplexos

Quaterniões $\mathbb {H}$ Octoniões $\mathbb {O}$ Sedeniões $\mathbb {S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb {R} ^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões

Os números inteiros são constituídos dos números naturais, incluindo o zero (0, 1, 2, 3, ...) e todos números negativos simétricos aos números naturais não nulos (−1, −2, −3, ...). Dois números são simétricos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, no ensino pré-universitário, chamam-se a estes números inteiros relativoscomo um .

O conjunto de todos os inteiros é representado por um Z em negrito (ou ainda um $\mathbb {Z}$ em blackboard bold, ou ℤ, cujo código Unicode é U+2124), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.como um mais um 4 e 245 mais 13 e ighjb e aroiz cum fejao e muito bao se for acompánhado de pimentao com leite condensado e repoi acebolado cum bobra

Os inteiros (juntamente com a operação de adição) formam o menor grupo que contém o monoide aditivo dos números naturais. Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.

Propriedades algébricas

Os resultados das operações de soma, subtração e multiplicação entre dois inteiros são inteiros.

O fato de que todas as leis usuais da aritmética são válidas nos inteiros pode ser expresso matematicamente dizendo-se que (Z, +, *) é um anel comutativo com unidade.

Os inteiros não formam um corpo, já que, por exemplo, não existe um inteiro x tal que 2x = 1. O menor corpo que contém os inteiros são os números racionais.

Uma importante propriedade dos inteiros é a divisão com resto: dados dois inteiros a e b com b ≠ 0, podemos sempre achar inteiros q e r tais que a = b q + r e tal que 0 <= r < |b| (veja módulo ou valor absoluto). q é chamado o quociente e r, o resto da divisão de a por b. Os números q e r são unicamente determinados por a e b. Esta divisão torna possível o Algoritmo Euclidiano para calcular o máximo divisor comum, que também mostra que o máximo divisor comum entre dois inteiros pode ser escrito como a soma de múltiplos destes dois inteiros.

Tudo isto pode ser resumido dizendo-se que Z é um domínio euclidiano. Isto implica que Z é um domínio de ideais principais e que todo número inteiro podem ser escrito como produto de números primos de forma única (desde que o 1 não seja considerado primo).

Este é o teorema fundamental da aritmética.

O ramo da matemática que estuda os inteiros é chamado de teoria dos números.

Propriedades relativas à ordem

Dois inteiros admitem relações binárias como =, > e <.

A ordem de Z é dada por ... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ... e faz de Z uma ordenação total sem limite superior ou inferior. Chama-se de inteiro positivo os inteiros maiores que zero; o próprio zero não é considerado um positivo. A ordem é compatível com as operações algébricas no seguinte sentido:

1. se a < b e c < d, então a + c < b + d
2. se a < b e 0 < c, então ac < bc

Aplicações

Inteiro é frequentemente um tipo primitivo em linguagem de programação, normalmente com 1, 2, 4, ou 8 bytes de comprimento (8, 16, 32, ou 64 bits). Observe, porém, que um computador pode apenas representar um subconjunto dos inteiros com estes tipos, já que os inteiros são infinitos e uma quantidade de bits fixa limita a representação a um máximo de 2 à potência do número de bits ($2^{8}$ para bytes, $2^{32}$ para arquiteturas de 32 bits, etc). No entanto, o uso de técnicas de inteligência artificial permitem que computadores representem e raciocinem sobre o conjunto dos inteiros.

RSA

O RSA é o mais conhecido dos métodos de criptografia de chave pública. Ele foi criado em 1978 por R. L. Rivest, A. Shamir e L. Adleman, que na época trabalhavam no MIT e é o mais usado em aplicações comerciais atualmente. A construção deste sistema é baseada nas propriedades da Teoria dos Números e suas principais características são: simplicidade, chave pública e extrema dificuldade em violar o código.

Ver também

• Wikilivros

• Parte inteira
• Sequência de inteiros
• Inteiro (tipo de dado)