Número p-ádico

Em matemática, o sistema dos números p-ádicos foi pela primeira vez descrito por Kurt Hensel em 1897.

Dado um número primo p, um número p-ádico é representado como uma soma infinita:^[1]

a=a_{-r}{\frac {1}{p^{r}}}+a_{-r+1}{\frac {1}{p^{r-1}}}+\ldots +a_{-1}{\frac {1}{p}}+a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\ldots \,

O principal uso destes números é na teoria de números.

Construção intuitiva

Assim como $\mathbb {R} \,$ pode ser gerado a partir de $\mathbb {Q} \,$ a partir da definição usual de valor absoluto, ou seja, $\mathbb {R} \,$ é $\mathbb {Q} \,$ acrescido do valor limite das sucessões de Cauchy,^{[Nota 1]} o conjunto dos números p-ádicos também é $\mathbb {Q} \,$ ao qual são agregados os valores limites das sucessões de Cauchy, só que, em vez de usar o valor absoluto usual, usa-se um valor absoluto diferente.^[2]

Este valor absoluto diferente, o valor absoluto p-ádico, representado por |.|_p, é tal que multiplicar um número por p, que no valor absoluto usual faz o resultado ser multiplicada por p, faz, neste caso, ser dividido por p. Por exemplo:^[2]

\|p^{n}\|_{p}=\left({\frac {1}{p}}\right)^{n}\,

Como consequência, a sucessão das potências de p, x_n = pⁿ, que, no valor absoluto usual é uma sucessão divergente (seu limite é infinito), no valor absoluto p-ádico é uma sucessão convergente, e seu limite é zero.^[2]

Define-se $\mathbb {Q} _{p}\,$ como sendo a completação de $\mathbb {Q} \,$ usando-se o valor absoluto p-ádico.^[2] É simples verificar que $\mathbb {Q} _{p}\,$ também é um corpo.^{[Nota 2]}

Um resultado do valor absoluto p-ádico é que o critério para convergência de uma série é mais simples que o critério para o valor absoluto usual: para uma série infinita $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$ ser convergente, é necessário e suficiente que a_n seja uma sequência que converge para zero.^[2]^{[Nota 3]}

Ou seja, para índices a_n números naturais entre 0 e p-1, uma expressão do tipo:

a_{-k}p^{-k}+\ldots +a_{-1}p^{-1}+a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\ldots \,

converge para algum número p-ádico. O resultado mais importante, porém, é que é possível demonstrar que todo número p-ádico pode ser escrito de forma única como uma série desta forma, ou seja, uma série de potências em p que está limitada para as potências negativas de p, mas não precisa estar limitada para as potências positivas.^[2]

Valor absoluto p-ádico

Para um número p-ádico a ≠ 0 expresso como:

a=a_{-r}{\frac {1}{p^{r}}}+a_{-r+1}{\frac {1}{p^{r-1}}}+\ldots +a_{-1}{\frac {1}{p}}+a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\ldots \,

com a_-r ≠ 0, o valor absoluto p-ádico vale:

\|a\|_{p}=p^{r}\,

Por exemplo, |p|_p = 1/p e |p²|_p = 1/p².^[3]

Toda sequência de Cauchy em $\mathbb {Q} _{p}\,$ converge.^[3]

Notas e referências

Notas

↑ Para testar a convergência de uma sucessão, é preciso testar em relação a algum valor limite, ou seja, dada uma distância pequena, todos os valores da sucessão, exceto um número finito, estão mais próximos do limite do que esta distância. Uma sucessão de Cauchy é uma sucessão em que propriedade de convergência é testada entre valores da própria sucessão, ou seja, quando podemos dizer que, para alguma distância pequena que se quer testar, todos os valores da sucessão, exceto um número finito deles, estão mais próximos que esta distância.
↑ Esta prova é idêntica à prova de que $\mathbb {R} \,$ é um corpo, pela construção como o conjunto das sucessões de Cauchy equivalentes segundo o valor absoluto usual.
↑ No caso da norma usual, o contra-exemplo padrão é a série harmônica 1 + 1/2 + 1/3 + ....

Referências

↑ Christian Wuthrich, Teaching, Further Number Theory, 6 p-adic numbers, 6.3 The p-adic numbers [1]Arquivado em 16 de outubro de 2013, no Wayback Machine. [em linha]
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Silvio Levy, 23. Absolute value on fields [2]Arquivado em 15 de outubro de 2008, no Wayback Machine. [em linha]
↑ ^a ^b Christian Wuthrich, Teaching, Further Number Theory, 6 p-adic numbers, 6.4 The absolute value

Ver também

Inteiro p-ádico

Ligações externas

«p-adicNumber»
«inteiros p--adicos». em planetmath
«p-adic number». at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
«Completion of Algebraic Closure» (PDF). - on-line lecture notes

Bibliografia

Gouvêa, Fernando Q. (2000). p-adic Numbers : An Introduction 2nd edition ed. [S.l.]: Springer. ISBN 3-540-62911-4
Robert, Alain M. (2000). A Course in p-adic Analysis. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98669-3
Steen, Lynn Arthur (1978). Counterexamples in Topology. [S.l.]: Dover. ISBN 0-486-68735-X
Jones, Gareth A., Jones, Josephine Mary. Elementary Number Theory. Springer, 1998. 301 p. ISBN 3540761977
Heinz-Dieter Ebbinghaus, John H. Ewing. Numbers. 1990. Springer. ISBN 0387974970
Jean Pierre Serre. A Course in Arithmetic. 1973. Springer. ISBN 0387900403

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[2] Para testar a convergência de uma sucessão, é preciso testar em relação a algum valor limite, ou seja, dada uma distância pequena, todos os valores da sucessão, exceto um número finito, estão mais próximos do limite do que esta distância. Uma sucessão de Cauchy é uma sucessão em que propriedade de convergência é testada entre valores da própria sucessão, ou seja, quando podemos dizer que, para alguma distância pequena que se quer testar, todos os valores da sucessão, exceto um número finito deles, estão mais próximos que esta distância.

[4] Esta prova é idêntica à prova de que $\mathbb {R} \,$ é um corpo, pela construção como o conjunto das sucessões de Cauchy equivalentes segundo o valor absoluto usual.

[5] No caso da norma usual, o contra-exemplo padrão é a série harmônica 1 + 1/2 + 1/3 + ....

[wuthrich-1] Christian Wuthrich, Teaching, Further Number Theory, 6 p-adic numbers, 6.3 The p-adic numbers [1]Arquivado em 16 de outubro de 2013, no Wayback Machine. [em linha]

[silvio.levy.23-3] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Silvio Levy, 23. Absolute value on fields [2]Arquivado em 15 de outubro de 2008, no Wayback Machine. [em linha]

[wuthrich.6.4-6] Christian Wuthrich, Teaching, Further Number Theory, 6 p-adic numbers, 6.4 The absolute value

[1]

[Nota 1]

[2]

[Nota 2]

[Nota 3]

[3]

v d e Números
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