Sistema de numeração quaternário

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Quaternário é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades (todos os possíveis números naturais) se representam com base em quatro números, ou seja, zero, um, dois e três (0, 1, 2 e 3).[1]

Conversões[editar | editar código-fonte]

Conversão Decimal-Quaternário[editar | editar código-fonte]

Para realizar a conversão de decimal para quaternário, pode ser utilizado o método das divisões sucessivas por 4. Por exemplo, o número 45:

  • dividindo-o por 4, o quociente é 11 e o resto é 1;
  • dividindo 11 por 4, temos resto 3 e quociente 2;
  • 2 é menor que 4, então as divisões param por aí;
  • partindo do quociente da última divisão e seguindo pelos restos das divisões (da última à primeira), obtemos o resultado:

Conversão Quaternário-Decimal[editar | editar código-fonte]

Uma forma de realizar a conversão de quaternário para decimal é utilizando o método proveniente do TFN. Esse método consiste em pegar o k-ésimo algarismo do número quaternário (sejam n algarismos, e definiremos a ordem do primeiro ao n-ésimo a começar do algarismo das unidades, ou seja, da direita para a esquerda) e multiplicar por , e depois somar todos os resultados. Por exemplo, .

Em relação a outros sistemas de numeração posicional[editar | editar código-fonte]

Números 1-64 no padrão quaternário
Decimal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Quaternário 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33 100
Octal 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20
Binário 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000
Decimal 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Quaternário 101 102 103 110 111 112 113 120 121 122 123 130 131 132 133 200
Octal 21 22 23 24 25 26 27 30 31 32 33 34 35 36 37 40
Binário 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111 100000
Decimal 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
Quaternário 201 202 203 210 211 212 213 220 221 222 223 230 231 232 233 300
Octal 41 42 43 44 45 46 47 50 51 52 53 54 55 56 57 60
Binário 100001 100010 100011 100100 100101 100110 100111 101000 101001 101010 101011 101100 101101 101110 101111 110000
Decimal 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
Quaternário 301 302 303 310 311 312 313 320 321 322 323 330 331 332 333 1000
Octal 61 62 63 64 65 66 67 70 71 72 73 74 75 76 77 100
Binário 110001 110010 110011 110100 110101 110110 110111 111000 111001 111010 111011 111100 111101 111110 111111 1000000

Relação com o sistema binário[editar | editar código-fonte]

Assim como os sistemas octal e hexadecimal, o sistema quaternário tem uma relação especial com o sistema binário. Cada base 4, 8 e 16 é uma potência de 2, assim a conversão para o binário e do binário é efetuada combinando cada dígito com 2, 3 ou 4 dígitos binários, ou bits. Por exemplo, na base 4,

302104 = 11 00 10 01 002.

Embora o octal e o hexadecimal sejam largamente usados em computação e programação de computadores na discussão e na análise de aritmética binária e lógica, o quaternário não possui a mesma importância.

Pela analogia com byte e nybble, um dígito quaternário às vezes é denominado crumb.[carece de fontes?]

Frações[editar | editar código-fonte]

Devido a terem apenas fatores iguais a 2, muitas frações em quaternário possuem dígitos repetidos, embora estas tendam a ser relativamente simples:

Base decimal
Fatores primos da base: 2, 5
Menor fator primo de um número inferior à base: 3
Menor fator primo de um número superior à base: 11
Outros fatores primos: 7 13
Base quaternária
Fatores primos da base: 2
Menor fator primo de um número inferior à base: 3
Menor fator primo de um número superior à base: 11
Outros fatores primos: 13 23 31
Fração Fatores primos
do denominador
Representação posicional Representação posicional Fatores primos
do denominador
Fração
1/2 2 0.5 0.2 2 1/2
1/3 3 0.3333... = 0.3 0.1111... = 0.1 3 1/3
1/4 2 0.25 0.1 2 1/10
1/5 5 0.2 0.03 11 1/11
1/6 2, 3 0.16 0.02 2, 3 1/12
1/7 7 0.142857 0.021 13 1/13
1/8 2 0.125 0.02 2 1/20
1/9 3 0.1 0.013 3 1/21
1/10 2, 5 0.1 0.012 2, 11 1/22
1/11 11 0.09 0.01131 23 1/23
1/12 2, 3 0.083 0.01 2, 3 1/30
1/13 13 0.076923 0.010323 31 1/31
1/14 2, 7 0.0714285 0.0102 2, 13 1/32
1/15 3, 5 0.06 0.01 3, 11 1/33
1/16 2 0.0625 0.01 2 1/100

Presença da lógica quaternária nas linguagens humanas[editar | editar código-fonte]

Muitas ou todas dentre as línguas chumashianas usavam originalmente um sistema de contagem em base 4, no qual os nomes para números foram estruturados de acordo com os múltiplos de 4 e 16 (e não de 10). Existe uma lista remanescente de mais de 32 palavras de números no idioma ventureño, escrita por um padre espanhol em aproximadamente 1819.[2]

Os números na escrita caroste possuem um sistema de contagem parcialmente na base 4, de 1 ao decimal 10.

A Curva de Hilbert[editar | editar código-fonte]

Números quaternários são usados na representação das curvas de Hilbert em 2D. Um número real entre 0 e 1 é convertido através do sistema quaternário. Feita a conversão, cada dígito não-repetido indica em qual dos respectivos 4 sub-quadrantes o número será projetado.[carece de fontes?]

Transmissão de dados[editar | editar código-fonte]

Códigos de linha quaternários já foram utilizados para transmissão de dados, da invenção do telégrafo ao código 2B1Q utilizado em circuitos RDIS (ISDN em inglês).

Referências

  1. http://www.matematicamuitofacil.com/naodecimais.html
  2. "Chumashan Numerals" por Madison S. Beeler, em Native American Mathematics, editada por Michael P. Closs (1986), ISBN 0-292-75531-7.