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Em matemática, um limite direto é um colimite de um "limite dirigido de objetos". Primeiro daremos a definição para estruturas algébricas como grupos e módulos, e então a definição geral que pode ser usada em qualquer categoria .

Definição Formal

Objetos Algébricos

Nesta seção entenderemos os objetos como sendo conjuntos com uma dada estrutura algébrica tais como grupos, anéis, módulos (sobre um anel fixado), álgebras (sobre um anel fixado), etc. Com isto em mente "homomorfismos" estão sendo considerados no contexto correspondente (homomorfismos de grupos, de anéis, de módulos, etc).

Começamos com a definição de um sistema direto(ou sistema dirigido) de objetos e homomorfismos. Sejam $\langle I,\leq \rangle$ um conjunto dirigido e $\{A_{i}:i\in I\}$ uma família de objetos indexados por $I\,$ e $f_{ij}:A_{i}\rightarrow A_{j}$ um homomorfismo para todo $i\leq j$ com as seguintes propriedades:

1. $f_{ii}\,$ é a identidade de $A_{i}\,$, e
2. $f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}$ para todo $i\leq j\leq k$.

Então o par $\langle A_{i},f_{ij}\rangle$ é chamado um sistema dirigido sobre $I\,$.

O conjunto subjacente do limite direto, $A\,$, de um sistema dirigido $\langle A_{i},f_{ij}\rangle$ é definido como a união disjunta dos $A_{i}\,$'s modulo uma certa relação de equivalência $\sim \,$:

$\varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .$

Aqui, se $x_{i}\in A_{i}$ e $x_{j}\in A_{j}$, $x_{i}\sim \,x_{j}$ se existe algum $k\in I$ tal que $f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,$. Heurísticamente, dois elementos da união disjunta são equivalentes se, e somente se, eles "são eventualmente iguais" no sistema dirigido. Uma formulação equivalente que clareia a dualidade com o limite inverso é que um elemento é equivalente a todas as suas imagens pelos morfismos do sistema dirigido, isto é $x_{i}\sim \,f_{ik}(x_{i})$.

Dessa definição obtemos "morfismos naturais" $\phi _{i}:A_{i}\rightarrow A$ que levam um elemento na sua classe de equivalência. As operações em $A\,$ são definidas com estes morfismos de maneira óbvia.

Uma propriedade importante é que tomar o limite direto na categoria dos módulos é um functor exato.

Limite Direto sobre um sistema dirigido numa categoria

O limite direto pode ser definido numca categoria arbitrária ${\mathcal {C}}$ por meio de uma propriedade universal. Sejam $\langle X_{i},f_{ij}\rangle$ um sistema dirigido de objetos e morfismos em ${\mathcal {C}}$ (mesma definição de cima). O limite direto deste sistema é um objeto $X\,$ em ${\mathcal {C}}$ junto com os morfismos $\phi _{i}:X_{i}\rightarrow X$ satisfazendo $\phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}$. O par $\langle X,\phi _{i}\rangle$ deve ser universal no sentido de que para qualquer outro par $\langle Y,\psi _{i}\rangle$ existe um único morfismo $u:X\rightarrow Y$ fazendo o diagrama

comutar para todo i, j. O limite direto é geralmente denotado $X=\varinjlim X_{i}$ com o sistema dirigido $\langle X_{i},f_{ij}\rangle$ sendo subtendido.

Diferentemente do caso de objetos algébricos, o limite direto pode não existir numaq categoria arbitrária. Mas quando ele existe ele é único no sentido forte: dado outro limite direto X′ existe um único isomorfismo X′ ? X que comuta com os morfismos naturais $\phi _{i}:A_{i}\rightarrow A$.

Note que um sistema dirigido num categoria ${\mathcal {C}}$ admite um descrição alternativa em termos de funtores. Qualquer conjun to dirigido $\langle I,\leq \rangle$ pode ser considerado como uma categoria pequena ${\mathcal {I}}$ onde os morfismo consistem das setas $i\rightarrow j$ se, e somente se, $i\leq j$. Um sistema dirigido é então um functor covariante ${\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}$.

Definição Geral

Sejam ${\mathcal {I}}$ e ${\mathcal {C}}$ categorias. Seja $c_{X}:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ um functor constante com objeto fixo $X\in {\mathcal {C}}$. Defina para cada functor $F:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ o functor

$\lim _{\longrightarrow }F:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Set}$

que associa a cada $X\in {\mathcal {C}}$ o conjunto $\mathrm {Hom} (F,c_{X})$ das transformações naturais de F para $c_{X}$. Se $\lim _{\longrightarrow }F$ é representável, o objeto representante em ${\mathcal {C}}$ é chamado o limite direto de F e é denotado por $\lim _{\longrightarrow }F$.

Se ${\mathcal {C}}$ é uma categoria abeliana onde somas diretas arbitrárias(possivelmente infinitas) de objetos existem (este é o axima AB3 de Grothedieck). O $\lim _{\longrightarrow }F$ é representável para cada functor $F:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ e

$\lim _{\longrightarrow }:\mathrm {Hom} ({\mathcal {I}},{\mathcal {C}})\rightarrow {\mathcal {C}},F\mapsto \lim _{\longrightarrow }F$

é um functor aditivo exato à direita de categorias abelianas.

Exemplos

• Uma coleção de subconjuntos $M_{i}$ de um conjunto M pode ser parcialmente ordenada pela inclusão. Se a coleção é dirigida, seu limite direto é a união $\bigcup M_{i}$.
• Seja "I" qualque conjunto dirigido com um elemento maximal m. O limite direto de qualquer sistema dirigido correspondente é isomorfo a X_m e o morfismo natural f_m: X_m ? X é um isomorfismo.
• Seja p um número primo. Considere o sistema dirigido composto dos grupos Z/pⁿZ e homomorfismos Z/pⁿZ ? Z/pⁿ⁺¹Z induzidos pela multiplocação por p. The direct limit of this system consists of all the roots of unity of order some power of p, and is called the Prüfer group Z(p⁸).
• Let F be a C-valued sheaf on a topological space X. Fix a point x in X. The open neighborhoods of x form a directed poset ordered by inclusion (U = V if and only if U contains V). The corresponding direct system is (F(U), r_U,V) where r is the restriction map. The direct limit of this system is called the stalk of F at x, denoted F_x. For each neighborhood U of x, the canonical morphism F(U) ? F_x associates to a section s of F over U an element s_x of the stalk F_x called the germ of s at x.
• Direct limits in the category of topological spaces are given by placing the final topology on the underlying set-theoretic direct limit.
• Inductive limits are linked to projective ones via

$\mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).$

• Consider a sequence {A_n, f_n} where A_n is a C*-algebra and f_n : A_n ? A_{n + 1} is a *-homomorphism. The C*-analog of the direct limit construction gives a C*-algebra satisfying the universal property above.

Related constructions and generalizations

The categorical dual of the direct limit is called the inverse limit (or projective limit). More general concepts are the limits and colimits of category theory. The terminology is somewhat confusing: direct limits are colimits while inverse limits are limits.