Árvore (estrutura de dados)

Representação simples de uma árvore. O nodo A, a raiz, tem como filhos diretos: B, C, E e filhos indiretos: D, F e G. B, C e E são irmãos, assim como D e F.

Árvore, no contexto da programação, engenharia de software e ciência da computação, é uma das mais importantes estruturas de dados não lineares. Herda as características das topologia em árvore. Conceptualmente diferente das listas, em que os dados se encontram numa sequência, nas árvores os dados estão dispostos de forma hierárquica, seus elementos se encontram "acima" ou "abaixo" de outros elementos da árvore.

São estruturas eficientes e simples em relação ao tratamento computacional, diferentemente dos grafos. Há inúmeros problemas no mundo real que podem ser modelados e resolvidos através das árvores. Estruturas de pastas de um sistema operacional, interfaces gráficas, bancos de dados e sites da Internet são exemplos de aplicações de árvores.

Uma árvore é formada por um conjunto de elementos que armazenam informações chamados nodos ou nós. Toda a árvore possui o elemento chamado raiz, que possui ligações para outros elementos denominados ramos ou filhos. Estes ramos podem estar ligados a outros elementos que também podem possuir outros ramos. O elemento que não possui ramos é conhecido como nó folha, nó terminal ou nó externo.

Uma terminologia muito utilizada nas estruturas de árvores tem origem das árvores genealógicas. O relacionamento entre nodos é descrito com os termos "pai" (ou "mãe") para os antecessores diretos de um nodo, "filhos" (ou "filhas") para os descendentes diretos e "irmãos" (ou "irmãs") para todos os nodos com mesmo pai.

Definições básicas

Definição formal de árvore

Formalmente, definimos uma árvore $T$ como um conjunto finito de zero ou mais nodos tal que:

• se o número de nodos = $0$, temos uma árvore vazia, ou
• se o número de nodos > $0$

• existe um nó especialmente denominado raiz de $T$
• os nós restantes formam $m\geq 0$ conjuntos disjuntos $p_{1},p_{2},...,p_{m}$, cada um desses conjuntos é uma árvore em si, chamada subárvore da raiz de $T$, ou simplesmente subárvore.

O número máximo de filhos em um nodo é chamado ordem da árvore. Uma árvore binária é aquela de ordem 2, i.e., em que cada elemento possui no máximo 2 filhos.

Representação

Diferentes representações de uma árvore: a) hierárquica, b) diagrama de barras, c) diagrama de inclusão, d) aninhamento e e) numeração por níveis

Há diversas formas de representação de uma árvore: hierárquica, diagrama de inclusão, diagrama de barras, numeração por níveis, por aninhamento.

A hierárquica é parecida com um organograma de uma empresa, linhas unem dois nodos e indicam o relacionamento lógico entre eles. Tradicionalmente desenha-se a raiz na parte superior e todos os nodos subordinados na parte inferior, mas o contrário também é possível. Na figura acima, o item (a) é um exemplo desta representação.

Diagrama de inclusão, um círculo representa cada nodo e seus nodos descendentes são inseridos dentro do círculo de seus pais. Também conhecida como diagrama de Venn, é muito utilizada na representação de conjuntos. O item (c) da figura ao lado mostra a árvore do item (a) usando diagrama de inclusão.

Em um diagrama de barras, linhas são usadas para mostrar a hierarquia dos nodos. A raiz possui a linha de maior tamanho e os nodos irmãos possuem linhas de tamanhos iguais. Método bastante utilizado na criação de índices de livros. É similar à indentação usada em linguagens de programação. O item (b) da imagem ao lado indica como seria a árvore do item (a) usando essa representação.

Usando numeração por níveis o nodo raiz recebe o número um e todos os nodos seguintes recebem uma numeração sequencial, sempre antecedidos pela numeração de seus nodos superiores. Item (e) da figura à direita representa a árvore (a) com representação por níveis.

Na representação por aninhamento, também conhecida por "representação por parênteses aninhados", a sucessão de parênteses reproduz as relações entre os nodos, aninhando um nodo filho ao seu pai. Como exemplo temos o item (d) da imagem ao lado representando a árvore (a).

Algoritmos

Uma das operações importantes consiste em percorrer cada elemento da árvore uma única vez. Esse percurso, também chamado de travessia da árvore, pode ser feito em pré-ordem (os filhos de um nó são processados após o nó) ou em pós-ordem (os filhos são processados antes do nó). Em árvores binárias é possível ainda fazer uma travessia em-ordem, em que se processa o filho à esquerda, o nó, e finalmente o filho à direita.

O algoritmo abaixo descreve uma travessia pré-ordem: PercursoPreordem(nó): Processa nó Para cada filho de nó (se houver) Executa recursivamente PercursoPreordem(filho)

Outra operação utilizada nas árvores de pesquisa é a travessia da raiz até uma das folhas. Essa operação tem um custo computacional proporcional ao número de níveis da árvore. O pior caso é a travessia de todos os elementos até a folha de nível mais baixo. Árvores balanceadas apresentam o melhor pior caso possível, para um certo número de nós. O pior caso apresenta-se na árvore degenerada em que cada nó possui exatamente um filho, e a árvore tem o mesmo número de níveis que de nós, assemelhando-se a uma lista ligada.

Ver também

• Árvore binária
• Árvore de busca binária
• Árvore AVL
• Árvore ordenada
• Árvore rubro-negra
• Árvore 2-3
• Árvore 2-3-4
• Árvore B
• Árvore B+
• Árvore hiperbólica
• Topologia em árvore

Ligações externas

• Commons
• Wikilivros
• Wikiversidade

• «QMatica.com» (em inglês)  - Site interativo sobre AVL (árvores balanceadas por altura)
• Algol.dev (Português e inglês) - Artigo sobre árvores.