Em matemática , binómio de Newton (português europeu ) ou binômio de Newton (português brasileiro ) canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio . O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton . Entretanto deve-se salientar que o Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton . Na verdade o que Newton estudou foram regras que valem para
(
a
+
b
)
n
{\displaystyle (a+b)^{n}}
n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas .[ 1]
Casos particulares do Binômio de Newton são:
(
x
+
y
)
1
=
x
+
y
{\displaystyle {\left(x+y\right)}^{1}=x+y}
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle {\left(x+y\right)}^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}
Notação e fórmula O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
{\displaystyle {\left(x+y\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}
Os coeficientes
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
coeficientes binomiais e são definidos como:
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
,
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
k
≤
n
{\displaystyle k\leq n}
x
!
=
1
×
2
×
…
x
{\displaystyle x!=1\times 2\times \ldots x}
fatorial de x.O coeficiente binomial
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
análise combinatória , ao número de combinações de n elementos agrupados k a k .
O triângulo de Pascal Um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais é o triângulo de Pascal .
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais
(
n
k
)
,
{\displaystyle {\begin{matrix}{n \choose k}\end{matrix}},}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
A construção do triângulo faz-se de forma que cada elemento do triângulo de Pascal seja igual à soma dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1 .
O princípio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel igualdade do triângulo de Pascal :
O triângulo de Pascal.
(
n
−
1
k
−
1
)
+
(
n
−
1
k
)
=
(
n
k
)
{\displaystyle {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}={n \choose k}}
Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal , que os descreveu no século XVII . Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no século XIII . O matemático persa Omar Khayyám , pode ter sido o primeiro a descobrir.
Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica:
(
x
+
y
)
2
=
x
2
y
0
+
2
x
1
y
1
+
x
0
y
2
{\displaystyle {\left(x+y\right)}^{2}=x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+x^{0}y^{2}}
(
x
+
y
)
3
=
x
3
y
0
+
3
x
2
y
1
+
3
x
1
y
2
+
x
0
y
3
{\displaystyle {\left(x+y\right)}^{3}=x^{3}y^{0}+3x^{2}y^{1}+3x^{1}y^{2}+x^{0}y^{3}}
(
x
+
y
)
4
=
x
4
y
0
+
4
x
3
y
1
+
6
x
2
y
2
+
4
x
1
y
3
+
x
0
y
4
.
{\displaystyle {\left(x+y\right)}^{4}=x^{4}y^{0}+4x^{3}y^{1}+6x^{2}y^{2}+4x^{1}y^{3}+x^{0}y^{4}.}
Demonstração do teorema do Binômio de Newton Antes de começar, vale lembrar que:
∑
k
=
0
n
−
1
a
k
=
∑
k
=
1
n
a
k
−
1
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{k-1}}
Sejam x , y elementos de um anel comutativo( xy=yx ) e n um inteiro não-negativo.
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}
Demonstraremos por indução matemática .
Base :
n
=
0
,
(
x
+
y
)
0
=
1
=
(
0
0
)
x
0
y
0
{\displaystyle n=0~,\qquad (x+y)^{0}=1={0 \choose 0}x^{0}y^{0}}
n
=
1
,
(
x
+
y
)
1
=
x
+
y
=
(
1
0
)
x
1
y
0
+
(
1
1
)
x
0
y
1
{\displaystyle n=1~,\qquad (x+y)^{1}=x+y={1 \choose 0}x^{1}y^{0}+{1 \choose 1}x^{0}y^{1}}
Recorrência :Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a relação para n+1 :
Da hipótese de indução:
(
x
+
y
)
n
+
1
=
(
x
+
y
)
⋅
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
,
{\displaystyle (x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k},}
Por distributividade de produto sob a soma:
(
x
+
y
)
n
+
1
=
x
n
+
1
+
x
⋅
∑
k
=
1
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
+
y
⋅
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
+
y
n
+
1
{\displaystyle (x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y^{n+1}}
Que pode ser reescrito usando (1):
(
x
+
y
)
n
+
1
=
x
n
+
1
+
x
⋅
∑
k
=
1
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
+
y
⋅
∑
k
=
1
n
(
n
k
−
1
)
x
n
−
k
+
1
y
k
−
1
+
y
n
+
1
{\displaystyle (x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k-1}x^{n-k+1}y^{k-1}+y^{n+1}}
(
x
+
y
)
n
+
1
=
x
n
+
1
+
∑
k
=
1
n
[
(
n
k
)
+
(
n
k
−
1
)
]
x
n
−
k
+
1
y
k
+
y
n
+
1
{\displaystyle (x+y)^{n+1}=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left\lbrack {{n} \choose {k}}+{{n} \choose {k-1}}\right\rbrack x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}}
Usando a formula do triângulo de Pascal :
(
x
+
y
)
n
+
1
=
x
n
+
1
+
∑
k
=
1
n
(
n
+
1
k
)
x
n
−
k
+
1
y
k
+
y
n
+
1
{\displaystyle (x+y)^{n+1}=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{{n+1} \choose k}~x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}}
Reagrupando o somatório :
(
x
+
y
)
n
+
1
=
∑
k
=
0
n
+
1
(
n
+
1
k
)
x
n
−
k
+
1
y
k
{\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}~x^{n-k+1}y^{k}}
E segue o resultado.
Aplicações O binómio de Newton pode ser usado para derivar diversas expressões matemáticas, através da escolha adequada de x e y . Por exemplo:
0
=
(
1
−
1
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
{\displaystyle 0=(1-1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}}
2
n
=
(
1
+
1
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
{\displaystyle 2^{n}=(1+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}}
2
2
n
=
(
1
+
1
)
2
n
=
∑
k
=
0
2
n
(
2
n
k
)
{\displaystyle 2^{2n}=(1+1)^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{2n \choose k}}
1
=
[
x
+
(
1
−
x
)
]
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
(
1
−
x
)
n
−
k
=
∑
k
=
0
n
B
k
n
(
x
)
,
{\displaystyle 1=[x+(1-x)]^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}B_{k}^{n}(x),}
B
k
n
(
x
)
{\displaystyle B_{k}^{n}(x)}
polinómios de Bernstein .Recomendado:
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
{\displaystyle {\left(x+y\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}
Referências
↑ GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. Editora Livraria da Física. São Paulo, 2007. ISBN 85-88325-76-4
Ver também 
Ver artigo principal: Triângulo de Pascal
![{\displaystyle 1=[x+(1-x)]^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}B_{k}^{n}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c996d7f14948f3df485a19e250f0d1322eb7903c)
