Enlace de Hopf
Na teoria dos nós, o enlace de Hopf é o mais simples dos enlaces não triviais com mais de uma componente.[1] Ele consiste em dois círculos interligados exatamente uma vez, seu nome é dado em função do matemático alemão Heinz Hopf.
Realizações geométricas[editar | editar código-fonte]
Um modelo concreto consiste de duas unidade de círculos em um plano perpendicular, cada um passando através do centro do outro.[2] Este modelo minimiza o comprimento da corda do enlace e, até 2002, o enlace de Hopf era o único elo de ligação cujo comprimento minímo da corda era conhecido.[3] A envoltória convexa dessas duas formas de círculos são chamadas de um Oloid.[4]
Propriedades[editar | editar código-fonte]
Dependendo das orientações relativas dos dois componentes, o número de enlaces,do Enlace de Hopf será ±1.[5]
O enlace de Hopf é um (2,2)- no enlace toral[6] com a trança palavra[7]
O complemento de nó do enlace de Hopf é R × S1 × S1, o cilindro sobre um toro.[8] Este espaço tem uma localidade na geometria euclidiana, de modo que uma ligação Hopf não seja um enlace hiperbólico. O grupo de nó do enlace Hopf(o grupo fundamental de seu complemento) é Z2 (o Grupo abeliano livre em dois geradores), distinguindo-o de um desvinculado par de loops que tem o grupo livre em dois geradores, como o seu grupo.[9]
O enlace de Hopf não é tricolor. Isso é facilmente visto a partir do fato de que o enlace só pode assumir duas cores que o leva a falhar a segunda parte da definição de tri-coloração. Em cada cruzamento, terá um máximo de duas cores. Assim, se ele satisfaz a regra de ter mais de uma cor, falha na regra de ter uma ou três cores em cada cruzamento. Se ele satisfaz a regra de ter uma ou três cores em cada cruzamento, ele irá falhar a regra de ter mais de uma cor.
Fibração de Hopf[editar | editar código-fonte]
A Fibração de Hopf é uma função contínua na 3-esfera (uma superfície tridimensional em quatro dimensões no espaço Euclidiano) para o mais familiar 2-esfera, com a propriedade que a imagem inversa de cada ponto na 2-esfera é um círculo. Assim, essas imagens decompõe a 3-esfera em uma contínua família de círculos, e
a cada dois distintos círculos formam um enlace de Hopf. Esta foi a motivação de Hopf para o estudo dos enlaces de Hopf: porque cada duas fibras são vinculadas, a Fibração de Hopf é uma fibração não trivial. Este exemplo começou de estudos de grupos de esferas homotópicas.Erro de citação: Elemento de abertura <ref> está mal formado ou tem um nome inválido
História[editar | editar código-fonte]
O enlace de Hopf é nomeado após o topólogo Heinz Hopf, considerar em 1931, como parte de sua pesquisa sobre a fibração Hopf.Erro de citação: Elemento de abertura <ref> está mal formado ou tem um nome inválido No Entanto, em matemática, ele era conhecido por Carl Friedrich Gauss antes do trabalho de Hopf.Erro de citação: Elemento de abertura <ref> está mal formado ou tem um nome inválido Ele também tem sido usado fora da matemática, por exemplo, como a crista de Buzan-ha, uma seita Budista Japonesa fundada no século XVI.
Veja também[editar | editar código-fonte]
Referências[editar | editar código-fonte]
- ↑ Adams, Colin Conrad (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, ISBN 9780821836781, American Mathematical Society, p. 151.
- ↑ Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (1998), «On distortion and thickness of knots», Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996), IMA Vol. Math. Appl., 103, New York: Springer, pp. 67–78, MR 1655037, doi:10.1007/978-1-4612-1712-1_7
- ↑ Cantarella, Jason; Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (2002), «On the minimum ropelength of knots and links», Inventiones Mathematicae, 150 (2): 257–286, MR 1933586, arXiv:math/0103224
, doi:10.1007/s00222-002-0234-y.
- ↑ Dirnböck, Hans; Stachel, Hellmuth (1997), «The development of the oloid» (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 1 (2): 105–118, MR 1622664.
- ↑ Adams (2004), p. 21.
- ↑ Kauffman, Louis H. (1987), On Knots, ISBN 9780691084350, Annals of Mathematics Studies, 115, Princeton University Press, p. 373.
- ↑ Adams (2004), Exercise 5.22, p. 133.
- ↑ Turaev, Vladimir G. (2010), Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds, ISBN 9783110221831, De Gruyter studies in mathematics, 18, Walter de Gruyter, p. 194.
- ↑ Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, ISBN 9787302105886, p. 24.
