Guia de onda circular

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Guias de onda são estruturas que direcionam a propagação de ondas, sejam estas sonoras ou eletromagnéticas, sendo a discussão deste artigo sobre as do último tipo. Essas guias são, de forma geral, canaletas retangulares ou cilindros metálicos ocos usados na transmissão de ondas eletromagnéticas de alta frequência (em geral, na faixa de rádio, microondas e luz visível). No caso em que possuem seção transversal constante, são denominadas guias de onda uniformes, sendo a guia de onda circular aquela cuja seção é um círculo.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Fibra óptica, um exemplo de aplicação de guias de onda.

As utilizações de guias de onda precedem a cunhagem do próprio nome ou o estudo analítico de suas propriedades. O fenômeno de transmissão de sinais através de canos ocos deu origem a aparatos como os estetoscópios.

Estes elementos também são usados na transmissão de energia entre componentes de sistemas como rádios, ou aparelhos ópticos ou de radar.

Alguns exemplos mais específicos incluem:

  • Fibras ópticas: transmitem luz e sinais por longas distâncias com baixa perda de intensidade do sinal.
  • Forno de microondas: uma guia de ondas transmite potência do magnetron, onde as ondas são originadas, para a câmara de cozimento.
  • Radares: uma guia de onda transmite sinais na faixa de frequências de rádio para e de uma antena;
  • Guias de onda são usadas em instrumentos científicos para medir propriedades ópticas, acústicas e elásticas de objetos, por exemplo, sendo colocadas em contato com o espécime estudado, como no caso da ultrassonografia médica.

História[editar | editar código-fonte]

A proposição inicial, seguida do estudo matemático e experimental das guias de onda se deu ao redor do final do século XIX.[1] O Barão de Rayleigh, John William Strutt, publicou uma análise sobre a propagação de ondas eletromagnéticas em guias de ondas circulares e retangulares preenchidas por um meio dielétrico, em 1897.[2] Um estudo sobre a propagação de ondas em um cilindro dielétrico foi feito por Demetrius Hondros e Peter Debye em 1910.[3] Em 1936, Carson, Mead, Schelkunoff e Southworth, do Bell Telephone Laboratories, forneceram resultados analíticos e empíricos em diferentes publicações.[4] [5] [6]

Uma grande evolução no estudo teórico e experimental sobre a utilização das guias como elementos práticos de comunicação foi observada no período de 1936 a 1940, porém, o estado atual de conhecimento sobre este assunto é devido em maior parte ao esforço conjunto de matemáticos, físicos e engenheiros que trabalhavam em campo durante a Segunda Guerra Mundial. A necessidade de radares que operassem em frequências de microondas implicou uma alta prioridade para análises de guias de ondas e aparelhos que fizessem uso delas, como forma de substituir os sistemas de baixas frequências que convencionalmente predominavam. Simultaneamente, a busca por descrições matemáticas de diferentes soluções para problemas de condições de contorno complicadas se tornou imperativa.

Campos elétrico e magnético[editar | editar código-fonte]

As várias aplicações das guias de onda criam um interesse em saber mais precisamente como os campos elétricos e magnéticos se comportam em seu interior quando há uma onda eletromagnética se propagando. Esse tipo de informação permite ter critérios para selecionar ou construir uma guia que tenha determinadas propriedades vantajosas para uma aplicação específica.

De um ponto de vista matemático, isso é feito procurando a solução para as equações que regem essas grandezas. Em termos mais técnicos, é possível encontrar a solução analítica para os campos E e H, a partir das equações de Maxwell e das condições de contorno apropriadas.

Condição de contorno[editar | editar código-fonte]

Esquema mostrando o interior de um segmento de uma guia de ondas cilíndrica com representação do sistema de coordenadas cilíndricas para definir um ponto P.

Num problema matemático deste tipo, conhecido como Problema de valor sobre o contorno, as propriedades do sistema criam um conjunto de restrições que são aplicadas sobre as soluções analíticas possíveis, através de expressões conhecidas como condições de contorno.

No caso de uma guia de onda com paredes condutoras, temos que os campos elétricos tangentes a essas paredes devem ser iguais a zero:

E_\parallel|_{r=a} = 0

Modo TM[editar | editar código-fonte]

Neste caso, o campo magnético não possui componente longitudinal (ao longo do eixo da guia):

H^{0}_z = 0
E_\parallel|_{r=a} = E^{0}_z(a) = 0

Como vimos, isso implica:

C_n J_n (k_c a)\cos(n\phi)e^{- \gamma z} = 0 \Rightarrow J_n(k_c a) = 0

Definindo p_{nl} como sendo a l-ésima raíz da função de Bessel J_n, temos que:

k_c = \frac{p_{nl}}{a}

Sendo que os valores dessas raízes são tabelados e disponíveis em diversos livros, sites e softwares. Os valores de p_{nl} determinam então os modos normais para o caso TM, os quais são normalmente conhecidos como TMnl.

Modo TE[editar | editar código-fonte]

Neste caso, o campo elétrico não possui componente longitudinal:

E^{0}_z = 0
E_\parallel|_{r=a} = E^{0}_\phi(a) = 0

Usando resultados obtidos anteriormente, temos:

H^{0}_z = C'_nJ_n(k_c a)\cos(n\phi)e^{-\gamma z}
E_\phi^{0}=\frac{1}{k_c^2}\left(\frac{\gamma}{r}\frac{\partial E_z^{0}}{\partial \phi} - {j\omega\mu}\frac{\partial H_z^0}{\partial r}\right)
\therefore
E_\phi^{0}(a)=\frac{j \omega \mu}{k_c} C'_nJ'_n(k_c a)\cos(n\phi) = 0 \Rightarrow J'_n(k_c a) = 0

Sendo C'_n uma constante complexa associada com as condições de contorno e J'_n a primeira derivada da função de Bessel ordinária do primeiro tipo.

Definindo p'_{nl} como sendo a l-ésima raíz da derivada da função de Bessel J'_n, temos que:

k_c = \frac{p'_{nl}}{a}

Sendo que os valores dessas raízes são também tabelados e disponíveis em diversos livros, sites e softwares. Os valores de p'_{nl} determinam então os modos normais para o caso TE, os quais são normalmente conhecidos como TEnl.

Modo TEM[editar | editar código-fonte]

Neste caso E^{0}_z = H^{0}_z = 0. Aplicando isso na Lei de Gauss e na Lei de Faraday, notamos que \mathbf{E} tem divergente e rotacional nulos, e portanto pode ser escrito como o gradiente de um potencial escalar que satisfaz a equação de Laplace. Porém esta equação não admite máximos ou mínimos locais[9] , e as condições de contorno requerem que a parede externa condutora seja equipotencial, de forma que o potencial deve ser constante em toda a região da guia de onda, e \mathbf{E}=\mathbf{0}, e não há propagação de ondas TEM. Foi feita a consideração de que não há nenhum segundo condutor dentro do primeiro que pudesse alterar o potencial no interior da guia de onda. Nos casos em que isso ocorre, como nas guias de onda coaxiais e bifibrilares, é possível observar modos TEM.

Plots dos modos normais[editar | editar código-fonte]

Usando as equações acima é possível escrever códigos em programas de análise matemática e plotar os campos na seção transversal da guia de onda. A escala de cores utilizada indica regiões de campos nulos (seu módulo é igual a zero) em vermelho, e regiões amarelas, verdes e azuis denotam módulos cada vez maiores, ou seja, campos mais intensos.

Por simplicidade e para ambos os casos, visando obter uma representação qualitativa do comportamento dos campos, todos os plots mostrados a seguir foram gerados utilizando-se um sistema de unidades arbitrárias nos quais todas as constantes físicas fossem iguais a 1, e todas as demais constantes necessárias para o cálculo também foram definidas como sendo 1, exceto pelo raio da guia de onda, que foi tomado como 2,5 unidades desse sistema. Variar esses parâmetros produz padrões de intensidades diferentes, mas o comportamento qualitativo das direções e sentidos dos campos se mantém semelhante.

Para os Modos TEnl, obtém-se os seguintes plots:


Para os modos TMnl, obtém-se:

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. E. Collin, Robert. Field theory of Guided Waves, Second Edition, IEEE Press, 1990.
  2. Lord Raleigh, “On the passage of electric waves through tubes, or the vibrations of dielectric cylinders,” Phil. Mag., vol. 43, pp. 125–132, 1897.
  3. D. Hondros and P. Debye, “Elektromagnetische Wellen an dielektrischen Draehten,” Ann. Physik, vol. 32, p. 465, 1910.
  4. J. R. Carson, S. P. Mead, and S. A. Schelkunoff, “Hyper-frequency waveguides—Mathematical theory,” Bell Syst. Tech. J., vol. 15, pp. 310–333, Apr. 1936.
  5. S. A. Schelkunoff, Electromagnetic Waves. New York:Van Nostrand, 1943, p. 425.
  6. G. C. Southworth, “Hyper-frequency wave guides-general considerations and experimental results,” Bell Syst. Tech. J., vol. 15, pp. 284–309, Apr. 1936.
  7. José Pissolato Filho. Ondas Guiadas. Visitado em 25 de fevereiro de 2013.
  8. Maria Inês Barbosa de Carvalho. Guias de Onda. Visitado em 25 de fevereiro de 2013.
  9. J. Griffiths, David. Introduction to Eletrodynamics, 3rd Edition, Addison-Wesley Professional