Identidade de polarização

Vetores envolvidos na identidade de polarização.

Em álgebra linear, a identidade de polarização expressa um produto interno de um espaço normado em função de sua norma. Se uma norma surge de um produto interno, então a identidade de polarização pode ser usada para expressar esse produto interno inteiramente em termos da norma.

A norma gerada por um produto interno, satisfaz a lei do paralelogramo: $\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}$. De fato, como observado por John von Neumann, a lei do paralelogramo caracteriza as normas que surgem de produtos internos. Explicitamente, se $(H,\|\cdot \|)$ é um espaço normado, então:

A lei do paralelogramo vale para norma $\|\cdot \|$ se e somente se existe um produto interno $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ em $H$ tal que $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ para todo $x\in H.$

Identidades de polarização

Um produto interno, em um espaço vetorial, gera uma norma por meio da seguinte relação:

$$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.$$

Com a identidade de polarização a relação é invertida: é possível obter um produto interno de uma norma. Todo produto interno satisfaz:

$$\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \qquad {\text{ para todos os vetores }}x,y.$$

Espaços vetoriais reais

Se o espaço vetorial é sobre os números reais, então as identidades de polarização são definidas por:

${\begin{alignedat}{4}\langle x,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}$

Essas formas são todas equivalentes por conta da lei do paralelogramo:

$$2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.$$

Espaços vetoriais complexos

Para o espaço vetorial complexo, as identidades de polarização devem considerar a parte imaginária do produto interno. A parte complexa do produto interno depende se é antilinear no primeiro ou no segundo argumento. A notação $\langle x|y\rangle ,$ que é comumente usada em física será assumida como antilinear no primeiro argumento enquanto $\langle x,\,y\rangle ,$ que é comumente usado em matemática, será considerada antilinear no segundo argumento. Elas estão relacionados pela fórmula:

$$\langle x,\,y\rangle =\langle y\,|\,x\rangle \quad {\text{ para todos }}x,y\in H.$$

A parte real de qualquer produto interno (independente de qual argumento é antilinear ou se é real ou complexo) é uma função bilinear simétrica que para qualquer $x,y\in H$ é sempre igual a:

${\begin{alignedat}{4}R(x,y):&=\operatorname {Re} \langle x\mid y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\;\;&(1)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)&(2)\\[3pt]&={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)&(3)\\\end{alignedat}}$

É sempre uma função simétrica, ou seja:

$$R(x,y)=R(y,x)\quad {\text{ para todos }}x,y\in H,$$

e também satisfaz:

$$R(y,ix)=-R(x,iy)\quad {\text{ para todos }}x,y\in H.$$

Prova
${\begin{alignedat}{4}R(y,ix)&={\frac {1}{2}}\left(\langle y,ix\rangle +\langle ix,y\rangle \right)\\&={\frac {1}{2i}}\left(\langle iy,ix\rangle -\langle ix,iy\rangle \right)\\&={\frac {1}{2i}}\left(-i\langle iy,x\rangle -i\langle x,iy\rangle \right)\\&=-{\frac {1}{2}}\left(\langle x,iy\rangle +\langle iy,x\rangle \right)\\&=-R(x,iy)\end{alignedat}}$

Portanto $R(ix,y)=-R(x,iy)$, em outras palavras, mover um fator de $i={\sqrt {-1}}$ para o outro argumento adiciona um sinal negativo.

Diferente da sua parte real, a parte imaginária de um produto interno complexo depende de qual argumento é antilinear.

Antilinear no primeiro argumento

Para o produto interno $\langle x\,|\,y\rangle ,$ antilinear no primeiro argumento, para todo $x,y\in H,$

${\begin{alignedat}{4}\langle x\,|\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)-iR(x,iy)\\&=R(x,y)+iR(ix,y).\\\end{alignedat}}$

A penúltima igualdade é semelhante a fórmula que expressa o funcional linear $\varphi$ em termos de sua parte real: $\varphi (y)=\operatorname {Re} \varphi (y)-i(\operatorname {Re} \varphi )(iy).$

Antilinear no segundo argumento

Para o produto interno $\langle x,\ y\rangle$ que é antilinear no segundo argumento, segue de$\langle x\,|\,y\rangle$ pela relação: $\langle x,\ y\rangle :=\langle y\,|\,x\rangle ={\overline {\langle x\,|\,y\rangle }}.$ Então para quaisquer $x,y\in H,$

${\begin{alignedat}{4}\langle x,\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)+iR(x,iy)\\&=R(x,y)-iR(ix,y).\\\end{alignedat}}$

Essa expressão pode reescrita como:

$$\langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|x+i^{k}y\right\|^{2}.$$

Portanto se $R(x,y)+iI(x,y)$ denota as partes real e imaginária de um produto interno no ponto $(x,y)\in H\times H$ do seu domínio, então sua parte imaginária será:

$$I(x,y)~=~{\begin{cases}R(ix,y)=-R(x,iy)&\quad {\text{ Se é antilinear no primeiro argumento}}\\R(x,iy)=-R(ix,y)&\quad {\text{ Se é antilinear no segundo argumento}}\\\end{cases}}$$

em que o escalar $i$ está sempre localizado no mesmo argumento que o produto interno é antilinear.

Reconstruindo o produto interno

Seja $(H,\|\cdot \|)$ um espaço normado que satisfaz a lei do paralelogramo:

$$\|x+y\|^{2}~+~\|x-y\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}$$

então existe um único produto interno $\langle \cdot ,\ \cdot \rangle$ em $H$ tal que $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ para todo $x\in H.$

Outra condição necessária e suficiente para existir um produto interno que induz uma norma dada é que a norma satisfaça a desigualdade de Ptolomeu:

$$\|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ para todos vetores }}x,y,z.$$

Aplicações e consequências

Se $H$é um espaço de Hilbert complexo, então $\langle x\mid y\rangle$ é real se, e somente se, sua parte complexa é $0=R(x,iy)={\frac {1}{4}}\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right),$ o que acontece se, e somente se, $\|x+iy\|=\|x-iy\|.$ Similarmente, $\langle x\mid y\rangle$ é imaginário puro se, e somente se, $\|x+y\|=\|x-y\|.$ Por exemplo, de $\|x+ix\|=|1+i|\|x\|={\sqrt {2}}\|x\|=|1-i|\|x\|=\|x-ix\|$ conclui-se que $\langle x|x\rangle$ é real e que $\langle x|ix\rangle$ é imaginário puro.

Isometrias

Se $A:H\to Z$ é uma isometria linear entre dois espaços de Hilbert (logo $\|Ah\|=\|h\|$ para todo $h\in H$), então

$$\langle Ah,Ak\rangle _{Z}=\langle h,k\rangle _{H}\quad {\text{ para todos }}h,k\in H;$$

ou seja, isometrias linear preservam o produto interno.

Se $A:H\to Z$ é uma isometria antilinear, então

$$\langle Ah,Ak\rangle _{Z}={\overline {\langle h,k\rangle _{H}}}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ para todos }}h,k\in H.$$

Relação com a lei dos cossenos

A segunda forma da identidade de polarização pode ser escrita como:

$$\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).$$

Essencialmente, essa é uma forma vetorial da lei dos cossenos para o triângulo formado pelos vetores ${\textbf {u}},{\textbf {v}}$, e ${\textbf {u}}-{\textbf {v}}$. Em particular,

$${\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}=\|{\textbf {u}}\|\,\|{\textbf {v}}\|\cos \theta ,$$

em que $\theta$ é o ângulo entre os vetores ${\textbf {u}}$ e ${\textbf {v}}$.

Dedução

A relação básica entre a norma e o produto escalar é dada pela equação:

$$\|{\textbf {v}}\|^{2}={\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}},$$

então,

$${\begin{aligned}\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}&=({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\cdot ({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\\[3pt]&=({\textbf {u}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}})\\[3pt]&=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}+2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}),\end{aligned}}$$

similarmente,

$$\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).$$

As formas (1) e (2) da identidade de polarização são obtidas resolvendo essas equações para u · v, enquanto a forma (3) é obtida subtraindo essas duas equações (somando-as obtém-se a lei do paralelogramo).

Bibliografia

• Lax, Peter D. (2002). Functional Analysis (PDF). Col: Pure and Applied Mathematics (em inglês). New York, NY: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC 47767143 
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. Col: International Series in Pure and Applied Mathematics (em inglês). Vol. 8 (Segunda ed.). New York, NY: S&P Global. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations (em inglês). San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365