Lei da probabilidade total

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Em teoria das probabilidades, a lei da probabilidade total é uma regra fundamental que relaciona probabilidades marginais e probabilidades condicionais. Ela expressa a probabilidade total de um resultado que pode ser realizado através de vários eventos distintos.

Expressão Formal[editar | editar código-fonte]

A lei da probabilidade total[1] é a proposição de que se \left\{{B_n : n = 1, 2, 3, \ldots}\right\} é uma partição finita ou infinita contável de um espaço amostral, i.e. um conjunto de eventos disjuntos pares cuja união é todo o espaço da amostra, e cada evento Bn é mensurável, então, para qualquer evento A do mesmo espaço de probabilidade:

\Pr(A)=\sum_n \Pr(A\cap B_n)\,

ou, alternativamente[1] ,

\Pr(A)=\sum_n \Pr(A\mid B_n)\Pr(B_n),\,

onde, para qualquer n\, para que \Pr(B_n) = 0 \, estes termos são omitidos na soma, pois \Pr(A\mid B_n)\, é finito. A soma pode ser interpretada como uma média ponderada e, por isso, a probabilidade marginal \Pr(A) pode ser chamada de "probabilidade média" ("average probability", em inglês)[2] .

A lei da probabilidade total também pode ser indicada para probabilidades condicionais. Tomando o mesmo B_n acima, e assumindo que C é um evento independente com qualquer dos eventos de B_n:

\Pr(A \mid C) = \sum_n \Pr(A \mid C \cap B_n) \Pr(B_n \mid C) = \sum_n \Pr(A \mid C \cap B_n) \Pr(B_n)

Expressão Informal[editar | editar código-fonte]

A expressão matemática acima pode ser interpretada da seguinte forma: "Dado um resultado A, com probabilidades condicionais conhecidas dado qualquer evento de B_n, cada um com sua probabilidade, qual é a probabilidade total de que A vai acontecer?". A resposta para esta questão é \Pr(A).

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Suponha que duas fábricas forneçam lâmpadas para o mercado. As lâmpadas da fábrica X trabalham por mais de 5000 horas em 99% dos casos, enquanto as lâmpadas de Y trabalham por mais de 5000 horas em 95% dos casos. Sabe-se que a fábrica X fornece 60% das lâmpadas. Qual é a chance de que a lâmpada comprada irá funcionar por mais de 5000 horas? Aplicando a lei da probabilidade total, nós temos:

{\Pr(A)=\Pr(A|B_1)}\cdot{\Pr(B_1)}+{\Pr(A|B_2)}\cdot{\Pr(B_2)}={99 \over 100}\cdot{6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot{4 \over 10}={{594 + 380} \over 1000}={974 \over 1000},

onde

  • \Pr(B_1)={6 \over 10} é a probabilidade que a lâmpada comprada foi feita pela fábrica X
  • \Pr(B_2)={4 \over 10} é a probabilidade que a lâmpada comprada foi feita pela fábrica Y
  • \Pr(A|B_1)={99 \over 100} é a probabilidade que a lâmpada feita por X vai funcionar por mais de 5000h
  • \Pr(A|B_2)={95 \over 100} é a probabilidade que a lâmpada feita por Y vai funcionar por mais de 5000h

Assim, cada lâmpada comprada tem uma chance de 97,4% para o trabalho por mais de 5000 horas.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Uma aplicação comum da lei é o lugar onde os eventos coincidem com uma variável aleatória discreta X tomando cada valor em sua faixa, ou seja, B_n é o evento X=x_n. Segue-se que a probabilidade do evento A é igual ao valor esperado das probabilidades condicionais de um dado X=x_n. Isto é,

\Pr(A)=\sum_n \Pr(A\mid X=x_n)\Pr(X=x_n) = \operatorname{E}[\Pr(A\mid X)] ,

em que Pr(A|X) é a probabilidade condicional de um dado valor da variável aleatória X. Esta probabilidade condicional é uma variável aleatória cujo valor depende de X. A probabilidade condicional Pr(A|X=x) é simplesmente uma probabilidade condicional de um evento, [X = x]. Sendo uma função de x, por exemplo g(x) = Pr(A|X=x). Então a probabilidade condicional Pr(A|X) é g(x), portanto, uma variável aleatória. Esta versão da lei da probabilidade total diz que o valor esperado da variável aleatória é o mesmo que Pr(A). Este resultado pode ser generalizado para variáveis ​​aleatórias contínuas, e a expressão se torna

\Pr(A)= \operatorname{E}[\Pr(A\mid \mathcal{F}_X)],

onde \mathcal{F}_X denota a sigma-álgebra gerada pela variável aleatória X.

Outros Nomes[editar | editar código-fonte]

O termo lei da probabilidade total também é conhecido como lei das alternativas, que é um caso especial da lei da probabilidade total aplicado à variáveis ​​aleatórias discretas. Um autor ainda utiliza a terminologia "lei contínua de alternativas", no caso contínuo[3] . Este resultado é dado por Geoffrey Grimmett e Welsh[4] como o teorema de partição, um nome que eles também dão à lei de expectativa total.

Veja Também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae, CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 page 31.
  2. Paul E. Pfeiffer. Concepts of probability theory. [S.l.]: Courier Dover Publications, 1978. 47–48 p. ISBN 978-0-486-63677-1
  3. Kenneth Baclawski. Introduction to probability with R. [S.l.]: CRC Press, 2008. p. 179. ISBN 978-1-4200-6521-3
  4. Probability: An Introduction, by Geoffrey Grimmett and Dominic Welsh, Oxford Science Publications, 1986, Theorem 1B.
  • Introduction to Probability and Statistics by William Mendenhall, Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver, Thomson Brooks/Cole, 2005, page 159.
  • Theory of Statistics, by Mark J. Schervish, Springer, 1995.
  • Schaum's Outline of Theory and Problems of Beginning Finite Mathematics, by John J. Schiller, Seymour Lipschutz, and R. Alu Srinivasan, McGraw–Hill Professional, 2005, page 116.
  • A First Course in Stochastic Models, by H. C. Tijms, John Wiley and Sons, 2003, pages 431–432.
  • An Intermediate Course in Probability, by Alan Gut, Springer, 1995, pages 5–6.