Teorema de Bayes

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Em teoria da probabilidade o Teorema de Bayes mostra a relação entre uma probabilidade condicional e a sua inversa; por exemplo, a probabilidade de uma hipótese dada a observação de uma evidência e a probabilidade da evidência dada pela hipótese. Esse teorema representa uma das primeiras tentativas de modelar de forma matemática a inferencia estatística, feita por Thomas Bayes (pronunciado /ˈbeɪz/ ou "bays").

O teorema de Bayes é um corolário do teorema da probabilidade total que permite calcular a seguinte probabilidade:

\Pr(A|B) = \frac{\Pr(B|A)\, \Pr(A)}{\Pr(B)} \!

A regra de Bayes mostra como alterar as probabilidades a priori tendo em conta novas evidências de forma a obter probabilidades a posteriori.

Podemos aplicar o Teorema de Bayes com o jogo das três portas.

Alguns preferem escrevê-lo na forma:

\Pr(A|B)\, \Pr(B) = \Pr(A\cap B) = \Pr(B\cap A) = \Pr(B | A) \Pr(A)=\Pr(A | B) \Pr(B) \!

A ideia principal é que a probabilidade de um evento A dado um evento B (e.g. a probabilidade de alguém ter câncer de mama sabendo, ou dado, que a mamografia deu positivo para o teste) depende não apenas do relacionamento entre os eventos A e B (i.e., a precisão, ou exatidão, da mamografia), mas também da probabilidade marginal (ou "probabilidade simples") da ocorrência de cada evento. Por exemplo, se as mamografias acertam em 95% dos testes, então 5% é a probabilidade de termos falso positivo ou falso negativo, ou uma mistura de falso positivo a falso. O teorema de Bayes nos permite calcular a probabilidade condicional de ter câncer de mama, dado uma mamografia positiva, para qualquer um desses casos. A probabilidade de uma mamografia positiva será diferente para cada um dos casos.

No exemplo dado, há um ponto de grande importância prática que merece destaque: se a prevalência de mamografias resultado positivo para o câncer é, digamos, 5,0%, então a probabilidade condicional de que um indivíduo com um resultado positivo na verdade não tem câncer é bastante pequena, já que aprobabilidade marginal deste tipo de câncer está mais perto de 1,0%.

A probabilidade de um resultado positivo é, portanto, cinco vezes mais provável que a probabilidade de um câncer em si. Além disso, alguém pode deduzir que a probabilidade condicional que mamografias positivas realmente tenham câncer é de 20%. Isso poderia ser menor, se a probabilidade condicional que dado um câncer de mama, a mamografia sendo positiva não é de 100% (i.e. falso negativos). Isso serve para mostrar a utilidade do entendimento do teorema de Bayes.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Teorema de Bayes em Medicina pela Prof. Neli Ortega.
  • Pierre-Simon Laplace (1774/1986), "Memoir on the Probability of the Causes of Events", Statistical Science1(3):364–378.

Ver também[editar | editar código-fonte]