Magma comutativo

Em matemática, existem magmas que são comutativos, mas não associativos. Um exemplo simples de tais magmas é obtido a partir do jogo das crianças de pedra, papel e tesoura. Tais magmas dão origem a álgebras não-associativas.

Um magma comutativo não-associativo derivado do jogo de pedra, papel e tesoura

Mapa de Karnaugh de todas as possibilidades de as propriedades Comutativa, Associativa, Inverso, e Identidade valer (y) ou não (n), e a definição de uma operação binária ⊕ correspondente sobre os números inteiros para quase todas as possibilidades.

Seja $M:=\{r,p,s\},$ cujos elementos correspondem aos gestos de "pedra", "papel" e "tesoura" (em inglês, "rock", "paper" e "scissor"), respectivamente, e considere a operação binária $\cdot :M\times M\to M$ decorrente das regras do jogo da seguinte maneira:

Para quaisquer $x,y\in M:$

• Se $x\neq y$ e $x$ vence $y$ no jogo, então, $x\cdot y=y\cdot x=x$
• $x\cdot x=x,$ ou seja, todo $x$ é idempotente.

Assim, por exemplo:

• $r\cdot p=p\cdot r=p$   "o papel vence a pedra";
• $s\cdot s=s$  "a tesoura empata com a tesoura".

Isso resulta na seguinte tabela de Cayley:

$${\begin{array}{c|ccc}\cdot &r&p&s\\\hline r&r&p&r\\p&p&p&s\\s&r&s&s\end{array}}$$

Por definição, o magma $(M,\cdot )$ é comutativo, mas além disso ele é não-associativo, como se pode ver considerando que:

$$r\cdot (p\cdot s)=r\cdot s=r$$

mas

$$(r\cdot p)\cdot s=p\cdot s=s$$

isto é,

$$r\cdot (p\cdot s)\neq (r\cdot p)\cdot s$$

Outros exemplos

A operação de "média" $x\oplus y=(x+y)/2$ nos números racionais (ou qualquer sistema numérico comutativo fechado sob a divisão) também é comutativa, mas não é associativa em geral, por exemplo,

$$-4\oplus (0\oplus +4)=-4\oplus +2=-1$$

mas

$$(-4\oplus 0)\oplus +4=-2\oplus +4=+1$$

Geralmente, as operações de média estudadas em topologia não precisam ser associativas.

A construção aplicada na seção anterior para pedra-papel-tesoura aplica-se diretamente para variantes do jogo com outra quantidade de gestos, como descrito na seção de variações, desde que existam dois jogadores e as condições sejam simétricas entre eles; de forma mais abstrata, ela pode ser aplicada a qualquer relação binária trichotomous relação binária (como "vencer" no jogo). O magma resultante será associativo se a relação for transitiva e, portanto, é uma ordem total (estrita); caso contrário, se finito, ela contém ciclos orientados (como pedra-papel-tesoura-pedra) e o magma é não-associativa. Para ver este último caso, considere a combinação de todos os elementos de um ciclo na ordem inversa, isto é, de modo que cada elemento combinado vence o anterior; o resultado é o último elemento combinado, enquanto associatividade e comutatividade significaria que o resultado só dependeria do conjunto de elementos do ciclo.

A linha inferior do diagrama de Karnaugh acima dá mais exemplos de operações, definidas nos números inteiros (ou em qualquer anel comutativo).

Álgebras não associativas comutativas derivadas

Usando o exemplo de pedra-papel-tesoura, pode-se construir uma álgebra sobre um corpo $K$ comutativa mas não-associativa: considere $A$ como sendo o espaço vetorial tridimensional sobre $K$ cujos elementos são escritos na forma

$$(x,y,z)=xr+yp+zs,$$

em que $x,y,z\in K.$ A adição vetorial e a multiplicação por escalar são definidas componente a componente, e os vetores são multiplicados usando as regras acima para multiplicar os elementos $r,p,s.$ O conjunto

:$\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\},$ ou seja, $\{r,p,s\}$

forma uma base para a álgebra $A.$ Como antes, a multiplicação de vetores em $A$ é comutativa, mas não é associativa.

O mesmo procedimento pode ser utilizado para obter a partir de qualquer magma comutativo $M$ uma álgebra sobre $K$ em $K^{M},$ que será não-associativa se o mesmo ocorrer com $M.$