Teorema da convolução

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Em matemática, o teorema da convolução estabelece que, sob condições apropriadas, a transformada de Fourier de uma convolução de duas funções absolutamente integráveis é igual ao produto ponto a ponto das transformadas de Fourier de cada função. Em outras palavras, convolução em um domínio (e.g., no domínio do tempo) equivale a multiplicação ponto a ponto no outro domínio (e.g., no domínio da frequência). O teorema é verdadeiro para várias transformadas relacionadas à transformada de Fourier.

Sejam \ f e \ g duas funções e \ f*g sua convolução (note-se que o asterisco aqui denota a operação de convolução, e não de multiplicação; o símbolo de produto tensorial \otimes algumas vezes é usado no seu lugar.). Seja \ \mathcal{F} o operador transformada de Fourier, tal que \ \mathcal{F}\{f\} e \ \mathcal{F}\{g\} são as transformadas de Fourier de \ f e \ g, respectivamente. Então

\mathcal{F}\{f*g\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}

onde o símbolo \cdot denota multiplicação ponto a ponto. A recíproca também é verdadeira:

\mathcal{F}\{f \cdot g\}= \mathcal{F}\{f\}*\mathcal{F}\{g\}

A respeito da transformada inversa de Fourier \mathcal{F}^{-1}, podemos escrever:

f*g= \mathcal{F}^{-1}\big\{\mathcal{F}\{f\}\cdot\mathcal{F}\{g\}\big\}

Note-se que as fórmulas acima são válidas apenas quando a transformada de Fourier aparece na forma mostrada na seção de Prova abaixo. A transformada pode ser normalizada de outras formas, casos em que fatores de escalamento constantes (tipicamente \ 2\pi ou \ \sqrt{2\pi}) aparecerão nas fórmulas.

Este teorema também vale para a transformada de Laplace, a transformada de Laplace bilateral e, quando convenientemente modificada, para a transformada de Mellin e para a transformada de Hartley. Ele pode ser estendido para a transformada de Fourier usada em análise de harmônicos, definida sobre grupos abelianos localmente compactos.

Esta formulação é especialmente útil na implementação numérica da operação de convolução em um computador digital. O algoritmo padrão para cálculo da convolução tem complexidade computacional quadrática; lançando mão do teorema da convolução e da transformada rápida de Fourier, a complexidade pode ser reduzida a O(n log n). Ele também pode ser explorado na construção de algoritmos mais rápidos para multiplicação de funções.

Prova[editar | editar código-fonte]

Esta prova se baseia numa forma normalizada particular da transformada de Fourier. Como mencionado acima, se outra normalização for usada, fatores de escalamento constantes aparecerão no desenvolvimento.

Sejam f e g duas funções pertencentes a L1(Rn). Seja F a transformada de Fourier de f e G a transformada de Fourier de g:

F(\nu) = \mathcal{F}\{f\} = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-2 \pi i x\cdot\nu} \, \mathrm{d}x
G(\nu) = \mathcal{F}\{g\} = \int_{\mathbb{R}^n}g(x) e^{-2 \pi i x\cdot\nu} \, \mathrm{d}x,

onde o ponto entre x e ν indica o produto interno (ou escalar) em Rn. Seja h a convolução de f e g

h(z) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x) g(z-x)\, \mathrm{d} x.

Agora, note-se que

 \int\!\!\int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)| \int |g(z-x)|\,dx\,dz = \int |f(z)|\,\|g\|_1\,dz=\|f\|_1 \|g\|_1.

Daí, pelo teorema de Fubini, temos que h\in L^1(\mathbb{R}^n) tal que sua transformada de Fourier H é dada pela fórmula integral


\begin{align}
  H(\nu) = \mathcal{F}\{h\} &= \int_{\mathbb{R}^n} h(z) e^{-2 \pi i z\cdot\nu}\, dz \\
                            &= \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) g(z-x)\, dx\, e^{-2 \pi i z\cdot \nu}\, dz.
\end{align}

Observe-se que  |f(x)g(z-x)e^{-2\pi i z\cdot\nu}|=|f(x)g(z-x)| e assim, de acordo com o argumento acima, pode-se aplicar o teorema de Fubini novamente:

H(\nu) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\left(\int_{\mathbb{R}^n} g(z-x)e^{-2 \pi i z\cdot \nu}\,dz\right)\,dx.

Substituindo-se y=z-x; então dy = dz, logo

H(\nu) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \left( \int_{\mathbb{R}} g(y) e^{-2 \pi i (y+x)\cdot\nu}\,dy \right) \,dx
=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-2\pi i x\cdot \nu} \left( \int_{\mathbb{R}^n} g(y) e^{-2 \pi i y\cdot\nu}\,dy \right) \,dx
=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-2\pi i x\cdot \nu}\,dx \int_{\mathbb{R}^n} g(y) e^{-2 \pi i y\cdot\nu}\,dy.

Essas duas integrais são as definições de F(\nu) e G(\nu), logo

H(\nu) = F(\nu) \cdot G(\nu),

QED.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to Harmonic Analysis, Dover, ISBN 0-486-63331-4