Espaço de Banach

Em matemática, um espaço de Banach, é um espaço vectorial normado completo. Deve seu nome ao matemático polaco Stefan Banach (1892-1945), o qual contribuiu para a teoria das séries ortogonais e inovações na teoria de medida e integração, sendo a sua contribuição mais importante na análise funcional.

Definições preliminares

Espaços métricos

Sejam $M$ um conjunto não-vazio e $d$ uma métrica em $M$ , dizemos que o par ( $M$ , $d$ ) é um espaço métrico.

Espaço vetorial normado

Seja $E$ um espaço vectorial sobre um corpo e $\|.\|$ uma norma de $E$ . O par ( $E$ , $\|.\|$ ) é um espaço vetorial normado.

Um espaço normado ( $E$ , $\|.\|$ ) pode ser considerado um espaço métrico ( $E$ , $d$ ), basta definir a seguinte métrica

d(x,y)=\|x-y\|

, para todo

\ x,\ y\in E

.

De fato, os axiomas da métrica são satisfeitos. Assim, para todo $\ x,\ y,\ z\in E$ , resulta:

• $d(x,x)=\|x-x\|=\|0\|=0$ ; •Se $x\neq y$ e $x>y$ , então $\|x-y\|=x-y>0$ , $d(x,y)>0$ .

Para o caso de $x<y$ , temos: $\|x-y\|=-(x-y)=y-x>0$ ;

• $d(x,y)=\|x-y\|=\|(-1)(y-x)\|=|-1|.\|y-x\|=|1|.\|y-x\|=\|y-x\|=d(y,x)$ ;

• $d(x,z)=\|x-z\|=\|x+(-y+y)-z\|=\|(x-y)+(y-z)\|\leq \|x-y\|+\|y-z\|$ .

Assim, todo espaço normado ( $E$ , $\|.\|$ ) é um espaço métrico ( $E$ , $d$ ), com $d$ sendo a métrica induzida pela norma $\|.\|$ . De modo particular, todo espaço normado é um espaço topológico.

É possível mostrar também que se $E$ $E$ é um espaço vetorial sobre os reais, munido de uma métrica $d$ $d$ , essa métrica é induzida por uma norma se, e somente se, satisfaz:
1. ${\textstyle d(\lambda x,\lambda y)=\vert \lambda \vert d(x,y),\;\forall \lambda \in \mathbb {R} ;\;\forall x,y\in E;}$
2. $d(x+z,y+z)=d(x,y),\;\forall x,y,z\in E.$ $d(x+z,y+z)=d(x,y),\;\forall x,y,z\in E.$

Sequência de Cauchy

Uma sequência $(x_{n})$ em um espaço métrico $M$ chama-se uma sequência de Cauchy quando, para todo $\epsilon >0$ dado, existe $n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $m,n>n_{0}$ implica $d(x_{m},x_{n})<\epsilon$ .

Intuitivamente, à medida que o índice $n$ cresce, os termos da sequência de Cauchy se tornam mais próximos.

Toda sequência convergente é de Cauchy.
Toda sequência de Cauchy é limitada.

Espaços métricos completos

Um espaço métrico $M$ é completo quando toda sequência de Cauchy em $M$ é convergente em $M$ .

Para mostrar que um espaço métrico $M$ não é completo, basta mostrar que existe uma sequência de Cauchy em $M$ que não seja convergente.
O espaço métrico $\mathbb {Q}$ não é completo. Basta tomar uma sequência de números racionais $(x_{n})$ convergindo para um número irracional $a$ . Por exemplo, $x_{1}=1;x_{2}=1,4;x_{3}=1,41;x_{4}=1,414...,$ com $\lim x_{n}={\sqrt {2}}$ . Assim, $(x_{n})$ é uma sequência de Cauchy no espaço métrico $\mathbb {Q}$ , mas não é convergente em $\mathbb {Q}$ .

Definição

Um espaço vectorial normado $E$ é chamado Espaço de Banach quando for um espaço métrico completo, ou seja, se toda sequência de Cauchy em $E$ é convergente em $E$ .

Quando queremos mostrar que um espaço é normado, a principal dificuldade ocorre em se demonstrar a desigualdade triangular. Há algumas desigualdades que nos auxiliam bastante neste processo:

Desigualdade de Young

Dados $a,b\in \mathbb {R} ,\;p,q\in (1,+\infty )$ tais que $a,b>0{\text{ e }}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ (dizemos que $p{\text{ e }}q$ são conjugados de Hölder)¨, vale a desigualdade:

$ab\leqslant {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.$

Desigualdade de Hölder

Dados $x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),\;y=(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\;p,q\in (1,+\infty )$ conjugados de Hölder, vale a desigualdade:

$\sum _{i=1}^{n}\vert x_{i}y_{i}\vert \leqslant \left(\sum _{i=1}^{n}\vert x_{i}\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{i=1}^{n}\vert y_{i}\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}.$

Se definimos um produto coordenada a coordenada em $\mathbb {R} ^{n}$ da forma $xy=(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2},\cdots ,x_{n}y_{n})$ , podemos reescrever a desigualdade como:

$\Vert xy\Vert _{1}\leqslant \Vert x\Vert _{p}\Vert y\Vert _{q}.$

Desigualdade de Minkowski

Dados $x,y\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ e }}p\in (1,+\infty )$ , vale a desigualdade:

$\Vert x+y\Vert _{p}\leqslant \Vert x\Vert _{p}+\Vert y\Vert _{p}.$

Propriedades

Se $X$ é espaço vetorial normado, e $Y\subseteq X$ é subespaço vetorial, então $Y$ é um espaço vetorial normado, com norma herdada do espaço $X$ .
Se $X$ é espaço de Banach e $Y\subseteq X$ é subespaço vetorial, então $Y$ é espaço de Banach se, e somente se, $Y$ é fechado em $X$ .
Para todo espaço vetorial normado $X$ , é possível estender a norma de forma que o completamento de $X$ , denotado ${\widetilde {X}}$ , seja espaço vetorial normado completo, ou seja, ${\widetilde {X}}$ é espaço de Banach.

Exemplos

Os números reais e os números complexos são espaços de Banach onde a norma é o próprio valor absoluto.
Qualquer espaço de Hilbert é um espaço de Banach.
O espaço das funções contínuas reais definidas no intervalo $[0,1]\,$ é um espaço de Banach com a norma do supremo:

\|f\|=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|\,.

Toda função contínua é limitada num compacto, portanto a norma está bem definida. Os axiomas da norma são facilmente verificados. Ainda, convergência nesta norma é equivalente à convergência uniforme. Como convergência uniforme preserva continuidade, o espaço é completo.

Nos espaços euclidianos $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ , existem várias normas a se considerar que o tornam espaço de Banach:
- $(\mathbb {R} ^{n},\Vert \cdot \Vert _{2})$ , sendo $\Vert x\Vert _{2}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$ a norma euclidiana usual.
- $(\mathbb {R} ^{n},\Vert \cdot \Vert _{p})$ , definindo, para $p\in [1,+\infty )$ , a norma $\Vert x\Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}\vert x_{i}\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$ .

Os espaços $\ell ^{p}$

Vendo que os espaços $\mathbb {R} ^{n}$ das n-uplas de números reais são espaços de Banach, queremos estender a definição de norma nesses espaços para o conjunto das sequências a fim de torná-las também em espaços de Banach.

Tomemos então $p\in [1,+\infty )$ , e definamos o conjunto

$\ell ^{p}=\left\{x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\left|\;\sum _{i=1}^{\infty }\vert x_{i}\vert ^{p}<+\infty \right.\right\}$ , munido das operações de soma e produto por escalar coordenada a coordenada.

Podemos verificar que esse espaço é de fato um espaço vetorial com essas operações, e definindo a norma

$\Vert \cdot \Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{\infty }\vert x_{i}\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$

é possível verificar que $(\ell ^{p},\Vert \cdot \Vert _{p})$ é um espaço de Banach.

O espaço $\ell ^{\infty }$ e seus subespaços

Tomando novamente o espaço das sequências de números reais, definindo

$\ell ^{\infty }=\left\{x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }:(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }{\text{ é limitada }}\right\}$

e tomando a norma $\Vert x\Vert _{\infty }=\sup _{i\in \mathbb {N} }\vert x_{i}\vert$ , temos que $(\ell ^{\infty },\Vert \cdot \Vert _{\infty })$ é espaço de Banach.

Definindo os subconjuntos de $\ell ^{\infty }$

$c=\{x\in \ell ^{\infty }:x{\text{ é convergente}}\}$ ;

$c_{0}=\{x\in \ell ^{\infty }:x{\text{ é convergente a }}0\}$ ;

$c_{00}=\{x\in \ell ^{\infty }:x{\text{ é eventualmente nula}}\}$ .

Vemos que $c_{00}\subseteq c_{0}\subseteq c\subseteq \ell ^{\infty }$ , sendo cada um deles subespaço do espaço que o contém. Desses espaços, $c$ e $c_{0}$ são espaços de Banach, com a norma herdada de $\ell ^{\infty }$ .

O espaço vetorial normado $c_{00}$ não é de Banach, pois não é completo. De fato, tome a sequência em $c_{00}$ :

$x_{1}=(1,0,0,0,\cdots )$
$x_{2}=\left(1,{\frac {1}{2}},0,0,\cdots \right)$
$x_{3}=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},0,0,\cdots \right)$
$\vdots$
$x_{k}=\left(1,{\frac {1}{2}},\cdots ,{\frac {1}{k}},0,0,\cdots \right)$ .

Verificamos que $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ é convergente a $x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\cdots ,{\frac {1}{k}},{\frac {1}{k+1}},\cdots \right)\in \ell ^{\infty }$ , mas $x\notin c_{00}$ .

Espaço da transformações lineares entre espaços normados

Dados espaços normados $X,Y$ , uma transformação $T:X\to Y$ é:

linear, se $T(\lambda x_{1}+x_{2})=\lambda T(x_{1})+T(x_{2}),\;\forall \lambda \in \mathbb {R} ,\;\forall x_{1},x_{2}\in X.$
contínua em $x_{0}$ , se $\forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\text{ em }}X,{\text{ com }}x_{n}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\;x_{0},{\text{ temos que }}T(x_{n}){\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\;T(x_{0})$ .
contínua, se $T$ for contínua em todo $x_{0}\in X$ .
limitada, se $\exists \;C>0{\text{ tal que }}\Vert T(x)\Vert \leq C\Vert x\Vert ,\;\forall x\in X.$

É possível mostrar que são equivalentes:

$T$ é contínua.
$T$ é contínua no $0_{X}$ .
$T$ é limitada.
$T$ leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.

Definindo o conjunto ${\mathcal {L}}(X,Y)=\{T:x\to Y\;\vert \;T{\text{ linear e limitada}}\}$ e a norma $\Vert T\Vert =\sup _{x\in B_{X}}\Vert T(x)\Vert$ , onde $B_{X}=\{x\in X:\Vert x\Vert \leq 1\}$ , $({\mathcal {L}}(X,Y),\Vert \cdot \Vert )$ é um espaço de Banach, contanto que $Y$ seja de Banach.