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O termo "álgebra booleana" é uma homenagem a [[George Boole]], um[[ matemático]] inglês autodidata. Boole introduziu o sistema algébrico, inicialmente, em um pequeno panfleto, o ''The Mathematical Analysis of Logic'', publicado em 1847, em resposta a uma controvérsia em curso entre [[Augustus De Morgan]] e [[William Hamilton]], e mais tarde como um livro mais substancial, '' The Laws of Thought'', publicado em 1854. A formulação de Boole difere das descritas acima em alguns aspectos importantes. Por exemplo, a conjunção e a disjunção em Boole não era um duplo par de operações. A álgebra booliana surgiu na década de 1860, em artigos escritos por William Jevons e [[Charles Sanders Peirce]].<ref name="Souza2002">Hélio Augusto Godoy de Souza. ''[http://books.google.com/books?id=NFJ0MNh9PV4C&pg=PA198 Documentario, Realidade E Semiose]''. Annablume; 2002. ISBN 978-85-7419-224-6. p. 198.</ref> A primeira apresentação sistemática de álgebra booliana e reticulados distributivos é devido ao 1890 Vorlesungen de Ernst Schröder . O primeiro tratamento extensivo de álgebra booliana em inglês foi um 1898 na ''Universal Algebra'' de Whitehead.<ref name="BOLZANI2004">CAIO AUGUSTUS MORAIS BOLZANI. ''[http://books.google.com/books?id=tgTlPE10u68C&pg=PA45 Residências Inteligentes]''. Editora Livraria da Fisica; 2004. ISBN 978-85-88325-25-8. p. 45.</ref><ref name="NullLobur">Linda Null; Julia Lobur. ''[http://books.google.com/books?id=vn-ISIU82t4C&pg=PA140 Princípios Básicos de Arquitetura e Organização de Computadores]''. Bookman; ISBN 978-85-7780-766-6. p. 140.</ref> |
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Uma álgebra booleana é uma [[enupla|6-upla]] <math>(X, \vee, \wedge, \neg, 0, 1)</math> consistindo de um conjunto <math>X</math> munido de duas [[operação binária|operações binárias]] <math>\vee</math> (também denotado por <math>+</math>, é geralmente chamado de "[[disjunção lógica|ou]]") e <math>\wedge</math> (também denotado por <math>\ast</math> ou por <math>\cdot</math>, é geralmente chamado de "[[conjunção lógica|e]]"), uma [[operação unária]] <math>\neg</math> (também denotada por <math>\sim</math> ou por uma barra superior, é geralmente chamado de "[[negação|não]]"), e duas [[constante matemática|constantes]] <math>0</math> (também denotada por <math>\bot</math> ou por <math>F</math>, geralmente chamado de "zero" ou de "falso") e <math>1</math> (também denotada por <math>\top</math> ou por <math>V</math>, geralmente chamado de "um" ou de "verdadeiro"), e satisfazendo os seguintes axiomas, [[quantificação universal|para quaisquer]] <math>a, b, c \in X</math>: |
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Revisão das 22h12min de 28 de fevereiro de 2014
Em álgebra abstrata, álgebras booleanas (ou álgebras de Boole) são estruturas algébricas que "captam as propriedades essenciais" dos operadores lógicos e de conjuntos, ou ainda oferece um estrutura para se lidar com "afirmações",[1] são assim denominadas em homenagem ao matemático George Boole.[2]
História
O termo "álgebra booleana" é uma homenagem a George Boole, ummatemático inglês autodidata. Boole introduziu o sistema algébrico, inicialmente, em um pequeno panfleto, o The Mathematical Analysis of Logic, publicado em 1847, em resposta a uma controvérsia em curso entre Augustus De Morgan e William Hamilton, e mais tarde como um livro mais substancial, The Laws of Thought, publicado em 1854. A formulação de Boole difere das descritas acima em alguns aspectos importantes. Por exemplo, a conjunção e a disjunção em Boole não era um duplo par de operações. A álgebra booliana surgiu na década de 1860, em artigos escritos por William Jevons e Charles Sanders Peirce.[3] A primeira apresentação sistemática de álgebra booliana e reticulados distributivos é devido ao 1890 Vorlesungen de Ernst Schröder . O primeiro tratamento extensivo de álgebra booliana em inglês foi um 1898 na Universal Algebra de Whitehead.[4][5]
Definição
Uma álgebra booleana é uma 6-upla consistindo de um conjunto munido de duas operações binárias (também denotado por , é geralmente chamado de "ou") e (também denotado por ou por , é geralmente chamado de "e"), uma operação unária (também denotada por ou por uma barra superior, é geralmente chamado de "não"), e duas constantes (também denotada por ou por , geralmente chamado de "zero" ou de "falso") e (também denotada por ou por , geralmente chamado de "um" ou de "verdadeiro"), e satisfazendo os seguintes axiomas, para quaisquer :
Propriedades Associativas | ||
Propriedades Comutativas | ||
Propriedades Absortivas | ||
Propriedades Distributivas | ||
Elementos Neutros | ||
Elementos Complementares |
Alguns autores também incluem a propriedade , para evitar a álgebra booliana com somente um elemento.
Exemplos
- O exemplo mais simples de álgebra booliana com mais de um elemento é o conjunto munido das seguintes operações:
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- Um outro exemplo de álgebra booliana é o conjunto (o elemento é geralmente chamado de "desconhecido" ou de "talvez") munido das seguintes operações:
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- Dado um conjunto , o conjunto das partes de munido das operações , , , e onde e , é uma álgebra booliana.
- O intervalo munido das operações , , e , é uma álgebra booliana. Essa álgebra booliana recebe o nome de lógica fuzzy.
Teoremas
Dado uma álgebra booliana sobre , são válidos para quaisquer :
Dupla Negação
Leis de De Morgan
Leis de absorção|Propriedades Absorventes
Elementos Absorventes
Negações do Zero e do Um
Definições alternativas da operação binária (também denotado por , é geralmente chamado de "xou" ou de "ou exclusivo")
Ordem
Dado uma álgebra booliana sobre , é válido quantificação universal|para quaisquer :
- se e somente se
A relação binária|relação definida como se e somente se uma das duas condições equivalentes acima é satisfeita é uma relação de ordem em . O supremo e o ínfimo do conjunto são e , respectivamente.
Homomorfismos e isomorfismos
Um homomorfismo entre duas álgebras boolianas e é uma função que para quaisquer :
Uma consequência é que .
Um isomorfismo entre duas álgebras boolianas e é um homomorfismo bijetor entre e . O inverso de um isomorfismo é um isomorfismo. Se existe um isomorfismo entre e , dizemos que e são isomorfos.
Ver também
- Reticulado
- Princípio do terceiro excluído
- Números binários
- Lógica binária
- Tabela verdade
- Função booliana
- Circuito digital
- Forma canónica
- Sistema formal
- Mapa de Karnaugh
- Diagrama de Venn
- Álgebra de Heyting
Referências
- ↑ Edward R. Scheinerman. Matemática Discreta - Uma Introdução. Cengage Learning Editores; 2003. ISBN 978-85-221-0291-4. p. 27.
- ↑ Seymour Lipschutz; Marc Lipson. Matemática Discreta: Coleção Schaum. Bookman; 2004. ISBN 978-85-363-0361-1. p. 454.
- ↑ Hélio Augusto Godoy de Souza. Documentario, Realidade E Semiose. Annablume; 2002. ISBN 978-85-7419-224-6. p. 198.
- ↑ CAIO AUGUSTUS MORAIS BOLZANI. Residências Inteligentes. Editora Livraria da Fisica; 2004. ISBN 978-85-88325-25-8. p. 45.
- ↑ Linda Null; Julia Lobur. Princípios Básicos de Arquitetura e Organização de Computadores. Bookman; ISBN 978-85-7780-766-6. p. 140.