Matriz (matemática)

Em Matemática, uma matriz m X n é uma tabela de m linhas e n colunas de símbolos sobre um conjunto, normalmente um corpo, F, representada sob a forma de um quadro s. As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.

Organização de uma matriz

Notação

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}$

Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como a_i,j ou a[i,j]. Nesse exemplo, o elemento a_{1 2} é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, $a_{ij}=i+j$, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2 $A={\begin{bmatrix}2&3\\3&4\\4&5\end{bmatrix}}$.

Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc) ou a partir de 0 (C e seus dialetos). Por exemplo, o elemento a(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.

Classificação de matrizes quanto ao número de colunas ou linhas

Matriz quadrada

Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos a_ij onde i = j, para i de 1 a n.

Vetor

Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 × n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m × 1(uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.

Classificação de matrizes quanto às suas propriedades

Tipo de matriz	é quadrada?	Tem inversa?	Qual é sua transposta?
Matriz identidade In	Sempre	Sim, ela mesma: In	Ela mesma, In (é uma matriz simétrica)
Matriz inversa ${B}^{-1}$	Sempre	Sim, e é igual à matriz original, $B$	$\left({B}^{-1}\right)^{T}$
Matriz simétrica $C$	Sempre	Não necessariamente	$C$
Matriz transposta Dt	Não necessariamente	Não necessariamente	D

Matriz identidade

Ver artigo principal: Matriz identidade

A matriz identidade I_n é a matriz quadrada n × n que tem todos os membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posições. Exemplo: $I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$.

A única matriz identidade que não contém zero é a matriz identidade de ordem 1: $I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$

Matriz inversa

Ver artigo principal: Matriz inversa

Uma matriz ${A}^{-1}$ é dita inversa de uma matriz A, se obedece à equação matricial $A.{A}^{-1}=I$, ou seja, se o produto entre as matrizes é a matriz identidade. A analogia com os números reais é evidente, pois assim como o produto entre dois números inversos é a unidade (elemento neutro da multiplicação), o produto entre duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversível.

A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz A, a matriz inversa é unica. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação $\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\cdot {\mbox{adj}}(\mathbf {A} )$, pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração.

Matriz transposta

Ver artigo principal: matriz transposta

A matriz transposta de uma matriz A_{m × n} é a matriz A^t_{n × m} em que $a_{ij}^{t}=a_{ji}$, ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da n coluna. Exemplo: $A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},A^{t}={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}$

Matriz simétrica

Ver artigo principal: Matriz simétrica

Uma matriz A é simétrica se A = A^t. Isso só ocorre com matrizes quadradas.

Matriz negativa (semi)definida

Uma matriz quadrada M é negativa definida se

$zMz<0,\forall z\in \mathbb {R} ^{N}$

Uma matriz quadrada M é negativa semidefinida se

$zMz=0,\forall z\in \mathbb {R} ^{N}$

Matriz positiva (semi)definida

Ver artigo principal: Matriz positiva definida

Uma matriz quadrada M é positiva definida se

$zMz>0,\forall z\in \mathbb {R} ^{N}$

E é positiva semidefinida se

$zMz=0,\forall z\in \mathbb {R} ^{N}$

Operações envolvendo matrizes

Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes.

Multiplicação por um escalar

A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número k qualquer por uma matriz n×m A, basta multiplicar cada entrada a_ij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também n×m e b_ij = k.a_ij. Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

Por exemplo:

$2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

Adição e subtração entre matrizes

Ver artigo principal: Adição de matrizes

Dado as matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].

Por exemplo:

${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer A-B, você usará A+B.

Lembre-se: Você só pode fazer isso com Matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em -A+B, o A que poderá ser reescrito.

Multiplicação de matrizes

Ver artigo principal: Produto de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) dada por:

$(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]\,\!$

para cada par i e j.

Por exemplo:

${\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}$

A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:

z A e B m×n e matriz C k×m ("distribuição à esquerda").

É importante notar que a comutatividade não é garantida; isto é, dadas as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente AB ≠ BA.

Propriedades

Determinante

Ver artigo principal: Determinante

O determinante é uma propriedade matricial útil na resolução de sistema de equações lineares (que sempre podem ser representados através de matrizes), além de outras aplicações matemáticas.

Transposta da Multiplicação

Para respeitar a correspondência entre linhas e colunas de uma multiplicação, a transposta de uma multiplicação de matrizes é dada como a transposta de cada matriz multiplicada na ordem inversa.

Para o caso de duas matrizes:

$(A*B)^{t}=B^{t}*A^{t}$

No caso de N matrizes:

$(A*B*C*...*N)^{t}=N^{t}*...*B^{t}*A^{t}$

Característica

A característica ou posto de uma matriz é um inteiro não negativo que representa o número máximo de linhas (ou colunas) da matriz que são linearmente independentes. De acordo com o teorema de Kronecker, temos que a característica de uma matriz B é c se e somente se:

• Existe pelo menos uma submatriz c*c cujo determinante é diferente de zero.
• Toda submatriz quadrada de ordem superior a c tem determinante zero.

Um menor de uma matriz é o determinante de uma de suas submatrizes. Logo, B tem a característica c quando pelo menos uma de suas submatrizes tem um determinante c não nulo (seu menor) e todo menor de ordem superior é igual a zero.

Se c for não nulo, então c é o maior inteiro não-negativo tal que B possui pelo menos uma submatriz $c*c$ com determinante diferente de zero. De acordo com a definição,

$caracteristica(B)<=m\,\!$

$caracteristica(B)<=n\,\!$

Onde m é o número de linhas e n o número de colunas de B.chera meu ovo

Ver também

• Wikilivros

• O conjunto das matrizes n×m sobre um corpo F com as operações de soma de matrizes e multiplicação de escalar por matriz forma um espaço vetorial de dimensão nm sobre F.
• O espaço vetorial das matrizes n×n sobre um corpo F com a operação de multiplicação de matrizes forma uma álgebra associativa com elemento identidade sobre o corpo F.
• O conceito de matriz pode ser generalizado para o de tensor. Assim como uma matriz m x n representa uma transformação linear de um espaço de dimensão n em um espaço de dimensão m, um tensor representa uma transformação n-linear que leva n₁ vetores em n₂ vetores.

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