Mudança de base

Em álgebra linear, uma base para um espaço vetorial de dimensão n é uma sequência de n vetores (α₁, …, α_n) com a propriedade de que todo vetor do espaço pode ser representado de forma única como uma combinação linear dos vetores da base. As representações matriciais dos operadores também são determinadas pela base escolhida. Como geralmente é desejável trabalhar com mais de uma base para um espaço vetorial, é de importância fundamental em álgebra linear poder transformar facilmente representações por meio de coordenadas relativas a uma base em suas representações equivalentes com relação a outra base. Tal transformação é chamada de mudança de base.

Embora a terminologia dos espaços vetoriais seja utilizada a seguir e o símbolo R possa ser considerado como o corpo dos números reais, os resultados discutidos valem sempre que R for um anel comutativo e a expressão espaço vetorial for substituída em todos os lugares por R-módulo livre.

Noções preliminares

A base canônica de Rⁿ é a sequência ordenada (e₁, …, e_n), em que e_j é o elemento de Rⁿ com 1 em sua j-ésima posição e 0s nas demais posições.

Se T : Rⁿ → R^m é uma transformação linear, a matriz de T é a matriz t de tamanho m × n cujaj-ésima coluna é T(e_j) para j = 1, …, n. Neste caso, tem-se T(x) = tx para todo x em Rⁿ, em que x é considerado como um vetor coluna e a múltiplicação no lado direito é a multiplicação matricial. Um fato básico em álgebra linear é que o espaço vetorial Hom(Rⁿ, R^m) de todas as transformações lineares de Rⁿ para R^m é naturalmente isomórfo ao espaço R^{m × n} das matrizes m × n sobre R; em outras palavras, uma transformação linear T : Rⁿ → R^m é, para todos os propósitos, equivalente a sua matrizt.

Também será utilizada a seguinte observação.

Teorema Sejam V e W espaços vetoriais, e sejam {α₁, …, α_n} uma base de V, e {γ₁, …, γ_n} quaisquer n vetores em W.Então existe uma única transformação linear T : V → W com T(α_j) = γ_j para j = 1, …, n.

Esta T única é definida por T(x₁α₁ + … + x_nα_n) = x₁γ₁ + … + x_nγ_n. É claro que se acontecer de {γ₁, …, γ_n} ser uma base de W, então T é bijetiva e linear; em outras palavras, T é um isomorfismo. Se neste caso também ocorrer que W = V, então T é chamada de automorfismo.

Agora seja V um espaço vetorial sobre R e suponha que {α₁, …, α_n} é uma base de V. Por definição, se ξ é um vetor de V então ξ = x₁α₁ + … + x_nα_n para uma única escolha de escalares x₁, …, x_n em R chamados de coordenadas de ξ relativas à base ordenada {α₁, …, α_n}.O vetor  x = (x₁, …, x_n) em Rⁿ é chamado de vetor coordenada de ξ (relativo a base indicada). A única transformação linear φ : Rⁿ → V que satisfaz φ(e_j) = α_j para j = 1, …, n é chamada de isomorfismo de coordenadas para V e a base {α₁, …, α_n}. Assim φ(x) = ξ se e somente se ξ = x₁α₁ + … + x_nα_n.

Referências

• Boldrini, José Luiz; Costa, Sueli I. Rodrigues; Figueiredo, Vera Lúcia; Wetzler, Henry G. (1986). Álgebra Linear 3ª ed. São Paulo: Harbra. p. 123. 412 páginas. ISBN 9788529402024 

Ver também

• Vetor de coordenadas
• Transformação integral, um análogo contínuo da mudança de base.
• Transformação ativa e passiva

Ligações externas

• Aula de Álgebra Linear do MIT sobre mudança de bases do MIT OpenCourseWare
• Aula do Khan Academy sobre mudança de bases, do Khan Academy