Automorfismo

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Na matemática, um automorfismo é um isomorfismo de um objeto matemático nele mesmo. Em certo sentido, o automorfismo é uma simetria do objeto, ou uma forma de mapear o objeto nele mesmo mantendo a sua estrutura. Normalmente, o conjunto dos automorfismos de um objeto nele mesmo forma um grupo, chamado de grupo dos automorfismos, que pode ser chamado de grupo de simetria do objeto.

Definição[editar | editar código-fonte]

A definição exata de um automorfismo depende do tipo de "objeto matemático" em questão e o que, precisamente, constitui um "isomorfismo" desse objeto. A definição mais geral em que estas palavras têm um significado abstrato é um ramo da matemática chamado teoria das categorias. A teoria das categorias lida com objetos abstratos e morfismos entre esses objetos[1][2].

Na teoria da categoria, um automorfismo é um endomorfismo (ou seja, um morfismo de um objeto para si mesmo) que é também um isomorfismo (no sentido categórico da palavra).

Esta é uma definição muito abstrata, pois, em teoria das categorias, morfismos não são necessariamente funções e objetos não são necessariamente conjuntos. Na maioria das situações concretas, no entanto, os objetos serão conjuntos com alguma estrutura adicional e os morfismos serão funções preservando essa estrutura.

No contexto da álgebra abstrata, por exemplo, um objeto matemático é uma estrutura algébrica como um grupo, anel ou espaço vetorial[3]. Um isomorfismo é simplesmente um homomorfismo bijetivo. (É claro que a definição de um homomorfismo depende do tipo de estrutura algébrica; ver, por exemplo: homomorfismo de grupos, homomorfismo de anéis e transformação linear).

O morfismo identidade (mapeamento identidade) é chamado de automorfismo trivial em alguns contextos. Respectivamente, outros automorfismos (não-identidade) são chamados de automorfismo não triviais.

Grupo de automorfismo[editar | editar código-fonte]

Se os automorfismos de um objeto X formam um conjunto (em vez de uma classe própria), então eles formam um grupo sob a composição de morfismos. Esse grupo é chamado de grupo de automorfismo de X. Que este é realmente um grupo é fácil de ver:

  • Fechamento: composição de dois endomorfismos é outro endomorfismo.
  • Associatividade: composição de morfismos é sempre associativa.
  • Identidade: A identidade é o morfismo identidade de um objeto para si mesmo que existe por definição.
  • Inversos: por definição, cada isomorfismo tem um inverso que também é um isomorfismo, e desde que o inverso também é um endomorfismo do mesmo objeto é um automorfismo.

O grupo de automorfismo de um objecto X em uma categoria C é denotado AutC(X), ou simplesmente Aut(X) se a categoria está clara pelo contexto.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Na Teoria dos Grafos um Automorfismo de grafos é uma permutação de nós que preserva arestas e não arestas. Em particular, se dois nós estão unidos por uma aresta, assim estão as suas imagens sob permutação.


Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Pierce, Benjamin C. (1991). Basic Category Theory for Computer Scientists (em inglês) (Cambridge, Massachusetts: MIT Press). p. 1. ISBN 0-262-66071-7. 
  2. MENESES, Paulo Blauth; HAEUSLER, Edward Hermann (1991). Teoria das Categorias para Ciência da Computação (em inglês) (Porto Alegre: Sagra Luzzato). p. 53-54. ISBN 85-241-0662-X. 
  3. DOMINGUES, Hygino H.;IEZZI, Gelson (1976). Introdução à Algebra Atual Editora [S.l.] 
  4. FONSECA, Daila Silva Seabra de Moura. «Grupos e seus automorfismos» (PDF). Consultado em 2010-11-04. 
  5. PAHL, PJ; DAMRATH, R (2001). «§7.5.5 Automorphisms». Mathematical foundations of computational engineering Felix Pahl translaton ed. Springer [S.l.] p. 376. ISBN 3540679952. 
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